N個の目が出るサイコロを振って，”N”が出るまでの回数はどのような分布になるか?

Nの目があるサイコロを振って”N”が出るまでの確率を考えます．

1回目，2回目，3回目，ｎ回目でNが初めて出る確率を求めて見ましょう．

・1回目

　\( \Large \displaystyle P(1) =\frac{1}{N}\)

・2回目

　\( \Large \displaystyle P(2) = \left(1 - \frac{1}{N} \right) \times \frac{1}{N}\)

・3回目

　\( \Large \displaystyle P(3) = \left(1 - \frac{1}{N} \right)^2 \times \frac{1}{N}\)

・n回目

　\( \Large \displaystyle P(N) = \left(1 - \frac{1}{N} \right)^{n-1} \times \frac{1}{N}\)

これを指数分布であることを導き出しましょう．

両辺の対数を取ると，

　\( \Large \displaystyle ln P(n) = ln \left[ \left(1 - \frac{1}{N} \right)^{n-1} \times \frac{1}{N} \right]\)

　\( \Large \displaystyle = (n-1) \cdot ln \left( \frac{N-1}{N} \right)+ ln \frac{1}{N} \)

　\( \Large \displaystyle = n \cdot ln \left( \frac{N-1}{N} \right) - ln \left( \frac{N-1}{N} \right)+ ln \frac{1}{N} \)

　\( \Large \displaystyle = n \cdot ln \left( \frac{N-1}{N} \right) + ln \frac{1}{N-1} \)

　\( \Large \displaystyle ln \left[ (N-1) P(n) \right] = n \cdot ln \left( \frac{N-1}{N} \right) \)

　\( \Large \displaystyle (N-1) P(n) = Exp \left[ n \cdot ln \left( \frac{N-1}{N} \right) \right]\)

　\( \Large \displaystyle P(N) = \frac{1}{N-1} Exp \left[ n \cdot ln \left( \frac{N-1}{N} \right) \right]\)

　\( \Large \displaystyle ln \left( \frac{N-1}{N} \right) < 0 \)

となりますので，単調減少する指数関数で表すことができます．

　\( \Large \displaystyle a \equiv ln \left( \frac{N-1}{N} \right) < 0\)

　\( \Large \displaystyle C \equiv \frac{1}{N-1} \)

とすれば，

　\( \Large \displaystyle P(n) = C \cdot e^{an}\)

となります．

次は，規格化，です．