N個の目が出るサイコロを振って，”N”が出るまでの回数はどのような分布になるか?

次は，規格化，です．

　\( \Large \displaystyle P(n) = C \cdot e^{an}\)

　\( \Large \displaystyle a \equiv ln \left( \frac{N-1}{N} \right) < 0\)

　\( \Large \displaystyle C \equiv \frac{1}{N-1} \)

とすると，

　\( \Large \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} P(n) = C \left[ e^{a} + e^{2a} + e^{3a} + ... \right]\)

となります．　

\( \Large \displaystyle e^{a} \)，を掛けると，

　\( \Large \displaystyle e^{a} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} P(n) = C \left[ e^{2a} + e^{3a} + e^{4a} + ... \right]\)

　\( \Large \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} P(n) - e^{a} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} P(n) = C \ e^{a} \)

　\( \Large \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} P(n)= C \ \frac{e^{a}}{1 - e^a}
= \frac{1}{N-1} \ \frac{(N-1)/N}{ 1-(N-1)/N}
= \frac{1}{N-1} \ \frac{(N-1)/N}{ N/N-(N-1)/N}
= \frac{1}{N-1} \ (N-1) = 1\)

となり，きちんと規格化できていることがわかります．

次は平均です．