N個の目が出るサイコロを振って，”N”が出るまでの回数はどのような分布になるか?

次は平均です．

　\( \Large \displaystyle P(n) = C \cdot e^{an}\)

　\( \Large \displaystyle a \equiv ln \left( \frac{N-1}{N} \right) < 0\)

　\( \Large \displaystyle C \equiv \frac{1}{N-1} \)

とすると，

　\( \Large \displaystyle <P> = \sum_{n=1}^{\infty} n P(n) = C \left[ e^{a} +2 e^{2a} + 3e^{3a} + ... \right]\)

となります．　

\( \Large \displaystyle e^{a} \)，を掛けると，

　\( \Large \displaystyle e^{a} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} n P(n) = C \left[ e^{2a} + 2 e^{3a} + 3 e^{4a} + ... \right]\)

　\( \Large \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n P(n) - e^{a} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} n P(n) = <P> - e^a <P> = C \left[ e^{a} + e^{2a} + e^{3a} + ... \right]\)

右辺は，規格化の式より，１となるので，

　\( \Large \displaystyle <P> = \frac{1}{ 1 - e^a} = \frac{1}{ 1 - (N-1)/N } = \frac{1}{ N/N - (N-1)/N }= \frac{1}{ 1/N} = N \)

となり，平均は，N，となります．

次は分散です．