１５ー１ー０２．ステップ関数（RLC回路）

・基本関係式

直列なので，

\(\Large V(t) = V_R (t) + V_L (t) + V_C(t) \)

\(\Large V_R(t) = R \cdot I(t) \)

\(\Large \displaystyle V_L(t) = L \ \frac{d}{dt} I(t) \)

\(\Large \displaystyle V_C(t) = \frac{1}{C} \ \int I(t) \ dt \)

となりますので，

\(\Large \displaystyle V(t) = R \cdot I(t) + L \ \frac{d}{dt} I(t) + \frac{1}{C} \ \int I(t) \ dt \)

を解けばいいことになります．

電流と電荷との関係は，

\(\Large \displaystyle I(t) = \frac{dq}{dt} \)

ステップ応答なので，

\(\Large V(t) = V_0 \ u(t) \)

\(\Large u(t) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \ (0<t<t_0) \\ 0 \ (t< 0, \ t_0 < t) \end{array} \right. \)

となります．

・初期条件

初期条件は，

\(\Large I(0) = 0 \)

\(\Large q(0) = 0 \)

と，電流，電荷ともに０と直感的にわかりやすいですが，電流の微分値は注意が必要となります．

t=0においては，

\(\Large \displaystyle R \cdot I(t) + L \ \frac{d}{dt} I(t) + \frac{1}{C} \ \int I(t) \ dt = V_0 \)

ですが，電荷を導入すると，

\(\Large \displaystyle R \cdot I(t) + L \ \frac{d}{dt} I(t) + \frac{1}{C} \ q(t) = V_0 \)

となり，t=0，の場合は，

\(\Large \displaystyle R \cdot I(0) + L \ \frac{d}{dt} I(0) + \frac{1}{C} \ q(0) = V_0 \)

\(\Large \displaystyle I'(0) = \frac{V_0}{L} \)

となります．