１５ー１ー０３．ステップ関数（RLC回路）

・通常の解き方

\(\Large \displaystyle R \cdot I(t) + L \ \frac{d}{dt} I(t) + \frac{1}{C} \ \int I(t) \ dt = V_0 \ u(t)\)

ですが，微分すると，

\(\Large \displaystyle R \ \frac{d}{dt} I(t) + L \ \frac{d^2}{dt^2} I(t) + \frac{1}{C} \ I(t) = \ \frac{d}{dt} V_0 \ u(t)\)

となりますが，入力は，ステップ関数であり，その微分はデルタ関数となります．しかし，t>0，の領域では0となるので，t>0，の領域では0とみなしていいことになります．

したがって，

\(\Large \displaystyle L \ \frac{d^2}{dt^2} I(t) + R \ \frac{d}{dt} I(t) + \frac{1}{C} \ I(t) =0 \)

を解けばいいことになります．

ここで，

\(\Large \displaystyle I(t) = e^{ \lambda t} \)

とおくと，

\(\Large \displaystyle L \ \lambda^2 \ e^{ \lambda t} + R \ \lambda \ e^{ \lambda t} + \frac{1}{C} \ e^{ \lambda t} =0 \)

\(\Large \displaystyle L \ \lambda^2 + R \ \lambda + \frac{1}{C} =0 \)

\(\Large \displaystyle \lambda^2 + \frac{R}{L} \ \lambda + \frac{1}{LC} =0 \)

となります，ここで，

\(\Large \displaystyle \omega_0 \equiv \frac{1}{\sqrt{LC} }, \ \alpha \equiv \frac{R}{2L} \)

単位は，

\(\Large \displaystyle \omega_0 \equiv \frac{1}{\sqrt{LC} } \rightarrow \frac{1}{\sqrt{\frac{V \ s}{A} \frac{A \ s}{V} }} = \frac{1}{s} \)

\(\Large \displaystyle \alpha \equiv \frac{R}{2L} \rightarrow \frac{\frac{V}{A}}{\frac{V \ s}{A}} = \frac{1}{s} \)

と周波数の単位となります．

とすると，

\(\Large \displaystyle \lambda^2 + 2 \alpha \ \lambda +\omega_0^2 =0 \)

と簡単になり，

\(\Large \displaystyle \lambda = \frac{-2 \alpha \pm \sqrt{4 \alpha^2 -4 \omega_0^2}}{2} = - \alpha \pm \sqrt{ \alpha^2 - \omega_0^2}\)

と一般解が　求まりました．

したがって，電流は，

\(\Large \displaystyle I(t) = A \cdot exp \left[ \left( - \alpha + \sqrt{ \alpha^2 - \omega_0^2} \right) t \right] + B \cdot exp \left[ \left( - \alpha - \sqrt{ \alpha^2 - \omega_0^2} \right) t \right]\)

\(\Large \displaystyle I(t) = e^{ - \alpha t} \cdot \left[ A \cdot exp \left( \sqrt{ \alpha^2 - \omega_0^2} \right) t + B \cdot exp \left( - \sqrt{ \alpha^2 - \omega_0^2} \right) t \right] \)

となります.

つぎに，この平方根の中の符号による計算を行っていきましょう．