回路-11

RC並列交流回路

RとCが並列に並んだ交流回路を考えます．

交流ですが，インピーダンスを考えれば，直列の抵抗と同じように計算できます．

つまり，交流回路の場合には，コンデンサのインピーダンスを交流回路の場合の抵抗値 と考え，直流の場合と同じように直列の計算をすればいいのです．インピーダンスは，

\(\Large Z_R = R \)

\(\Large Z_C = \displaystyle \frac{1}{j \omega C} \)　

となるので，

\(\Large \displaystyle \frac{1}{Z} = \frac{1}{Z_R} + \frac{1}{Z_C} = \displaystyle \frac{1}{R} + j \omega C \)　

\(\Large V(t) = Z \cdot I(t) \)　

から，

\(\Large I(t) = I_R(t) + I_C(t) = \displaystyle \left( \frac{1}{R} + j \omega C \right) \cdot V_0 \cdot e^{j \omega t} \)

となります．ここで複素平面を考えるために，

\(\Large I(t) = I_R(t) + I_C(t) = \displaystyle \sqrt{\frac{1}{R^2} + ( \omega C)^2} \frac{ \frac{1}{R} + j \omega C }{\sqrt{\frac{1}{R^2} + ( \omega C)^2}} \cdot V_0 \cdot e^{j \omega t} \)

とし，最初の項を，複素平面で，

と考えると，

\(\Large cos \ \theta = \displaystyle \frac{1/R }{\sqrt{\frac{1}{R^2} + ( \omega C)^2}} \)　

\(\Large j \ sin \ \theta = \frac{ \displaystyle \omega C}{\sqrt{\frac{1}{R^2} + ( \omega C)^2}} \)　

となるので，

\(\Large \displaystyle \frac{ \frac{1}{R} + j \omega C }{\sqrt{\frac{1}{R^2} + ( \omega C)^2}} = cos \ \theta + j \ sin \ \theta = e^{j \ \theta} \)　

となります．ここで，

\(\Large tan \ \theta = \displaystyle \omega RC \)　

です．したがって，電流は，

\(\Large I(t) = e^{j \ \theta} \cdot \displaystyle \sqrt{\frac{1}{R^2} + ( \omega C)^2} \cdot V_0 \ e^{j \omega t} \)　

\(\Large =\displaystyle V_0 \cdot \sqrt{\frac{1}{R^2} + ( \omega C)^2} \cdot e^{j (\omega t + \theta)} \)　

となります．ここで，三角関数に戻すために，虚数部分のみ取り出すと，

\(\Large Im[I(t)] = \displaystyle V_0 \cdot \sqrt{\frac{1}{R^2} + ( \omega C)^2} \cdot sin \ (\omega t + \theta) \)　

となります．

実際にRC並列交流回路を作ってみてシミュレートしてみました．

条件は，
　f = 40 Hz
　R = 100 Ω
　C = 34 μF
　V₀ = 1 V
ということで，

\(\Large \omega = 40 \cdot 2 \cdot \pi = 251.3 \ rad/s \)　

振幅

コンデンサ直下の電流値の振幅は，

\(\Large \displaystyle V_0 \cdot \sqrt{\frac{1}{R^2} + ( \omega C)^2} = 13.2 \ mA \)　

と電流の振幅が計算どおりとなっていることがわかります．

位相

今回は，この計算は使わずに，0点同士の差から求めました．

\(\Large \Delta t = 2.80 \ ms \)　

理論値は，

\(\Large tan^{-1} \ \omega R C = 0.707 \ rad \)　

周波数は40 Hz，ですので，一周期が，1/40 = 25 ms.

\(\Large \frac{0.707}{ 2 \pi} \times 25 \ ms = 2.81 \ ms \)　

とほぼ一致していることがわかります．

次に，RL並列交流回路，について考えていきます．