回路-12
RL並列交流回路
RとLが並列に並んだ交流回路を考えます．
交流ですが，インピーダンスを考えれば，直列の抵抗と同じように計算できます．
つまり，交流回路の場合には，コンデンサのインピーダンスを交流回路の場合の抵抗値 と考え，直流の場合と同じように直列の計算をすればいいのです．インピーダンスは，
\(\Large Z_R = R \)
\(\Large Z_L = \displaystyle j \omega L \)
となるので，
\(\Large \displaystyle \frac{1}{Z} = \frac{1}{Z_R} + \frac{1}{Z_L} = \displaystyle \frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L} \)
\(\Large V(t) = Z \cdot I(t) \)
から，
\(\Large I(t) = I_R(t) + I_L(t) = \displaystyle \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L} \right) \cdot V_0 \cdot e^{j \omega t} \)
\(\Large = \displaystyle \left( \frac{1}{R} - \frac{j}{ \omega L} \right) \cdot V_0 \cdot e^{j \omega t} \)
となります．ここで複素平面を考えるために，
\(\Large = \displaystyle \sqrt{ \frac{1}{R^2} - \frac{1}{ (\omega L)^2}} \frac{\frac{1}{R} - \frac{j}{ \omega L}}{\sqrt{ \frac{1}{R^2} - \frac{1}{ (\omega L)^2}}} \cdot V_0 \cdot e^{j \omega t} \)
とし，最初の項を，複素平面で，
と考えると，
\(\Large cos \ (- \theta) = \displaystyle \frac{1/R }{\sqrt{ \frac{1}{R^2} - \frac{1}{ (\omega L)^2}}} \)
\(\Large j \ sin \ (-\theta) = \frac{ \displaystyle - \frac{1}{ \omega L}}{\sqrt{ \frac{1}{R^2} - \frac{1}{ (\omega L)^2}}} \)
となるので，
\(\Large \displaystyle \frac{\frac{1}{R} - \frac{j}{ \omega L}}{\sqrt{ \frac{1}{R^2} - \frac{1}{ (\omega L)^2}}} = cos \ (- \theta) + j \ sin \ (- \theta) = e^{- j \ \theta} \)
となります．ここで，
\(\Large tan \ (- \theta) = \displaystyle \frac{R}{\omega L} \)
です．したがって，電流は，
\(\Large I(t) = e^{-j \ \theta} \cdot \displaystyle \sqrt{ \frac{1}{R^2} - \frac{1}{ (\omega L)^2}} \cdot V_0 \ e^{j \omega t} \)
\(\Large =\displaystyle V_0 \cdot \sqrt{ \frac{1}{R^2} - \frac{1}{ (\omega L)^2}} \cdot e^{j (\omega t - \theta)} \)
となります．ここで，三角関数に戻すために，虚数部分のみ取り出すと，
\(\Large Im[I(t)] = \displaystyle V_0 \cdot \sqrt{ \frac{1}{R^2} - \frac{1}{ (\omega L)^2}} \cdot sin \ (\omega t - \theta) \)
となります．
実際にRL並列交流回路を作ってみてシミュレートしてみました．
条件は，
f = 40 Hz
R = 200 Ω
L = 0.5 H
V0 = 1 V
ということで，
\(\Large \omega = 40 \cdot 2 \cdot \pi = 251.3 \ rad/s \)
となります．インピーダンスから求めたので，DC値は考慮していない計算となりましたが，シミュレーションはDC値が考慮されていました．
詳しい導出方法は，こちら，で．
振幅
コンデンサ直下の電流値の振幅は，
\(\Large \displaystyle V_0 \cdot \sqrt{ \frac{1}{R^2} - \frac{1}{ (\omega L)^2}} = 9.398 \ mA \)
と電流の振幅が計算どおりとなっていることがわかります．
実際のPeak to Peakは，
\(\Large \displaystyle \frac{17.35 - (-1.435)}{2} = 9.3925 \ mA \)
でした．
位相
今回は，この計算は使わずに，ピーク地点同士の差から求めました．
\(\Large \Delta t = 3.99 \ ms \)
理論値は，
\(\Large tan^{-1} \ \frac{R}{\omega L} = -1.01 \ rad \)
周波数は40 Hz，ですので，一周期が，1/40 = 25 ms.
\(\Large \frac{-1.01}{ 2 \pi} \times 25 \ ms = 4.02 \ ms \)
とほぼ一致していることがわかります．
せっかくなので，ここ，に過渡現象を含めたRLの並列直列交流回路にを計算していきます．
