回路-10
RL直列交流回路
RとLが直列に並んだ交流回路を考えます．
交流ですが，インピーダンスを考えれば，直列の抵抗と同じように計算できます．
つまり，交流回路の場合には，コイルのインピーダンスを交流回路の場合の抵抗値 と考え，直流の場合と同じように直列の計算をすればいいのです．インピーダンスは，
\(\Large Z = R + \displaystyle j \omega L \)
となるので，
\(\Large V_0 \cdot e^{j \omega t} = Z \cdot I(t) = \left( R + \displaystyle j \omega L \right) \cdot I(t) \)
電流は，
\(\Large I(t) = \frac{1}{R + \displaystyle j \omega L} \cdot V_0 \cdot e^{j \omega t} \)
となります．分母に虚数が入るのはいやらしいので，
\(\Large = \displaystyle \frac{R - j \omega L}{(R + j \omega L) (R -j \omega L)} V_0 \cdot e^{j \omega t} \)
\(\Large = \displaystyle \frac{R -j \omega L}{R^2 + (\omega L)^2} V_0 \cdot e^{j \omega t} \)
となります．ここで複素平面を考えるために，
\(\Large = \displaystyle \frac{R -j \omega L}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2 }} \frac{1}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2 }} V_0 \cdot e^{j \omega t} \)
とし，最初の項を，複素平面で，
と考えると，
\(\Large cos \ (-\theta) = \displaystyle \frac{R }{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2 }} \)
\(\Large j \ sin \ (-\theta) = - \frac{ \displaystyle j \omega L}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2 }} \)
となるので，
\(\Large \frac{R - j \omega L}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2 }} = cos \ (-\theta) - j \ sin \ (-\theta) = e^{-j \ \theta} \)
となります．ここで，
\(\Large tan (-\theta) = \displaystyle \frac{\omega L}{R} \)
です．したがって，電流は，
\(\Large I(t) = e^{-j \ \theta} \cdot \displaystyle \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2 }} \cdot e^{j \omega t} \)
\(\Large = \displaystyle \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2 }} \cdot e^{j (\omega t - \theta)} \)
となります．ここで，三角関数に戻すために，虚数部分のみ取り出すと，
\(\Large Im[I(t)] = \displaystyle \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2 }} \cdot sin \ (\omega t - \theta) \)
となります．
真面目に解くと．．．ここ，に記載しました．
実際にRL交流回路を作ってみてシミュレートしてみました．
条件は，
f = 40 Hz
L = 10 H
V0 = 1 V
ということで，
\(\Large \omega = 40 \cdot 2 \cdot \pi = 251.3 \ rad/s \)
振幅
コンデンサ直下の電流値の振幅は，
\(\Large \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + \displaystyle \frac{1}{ (\omega C)^2 }}} = 400 \ \mu A \)
と電流の振幅が計算どおりとなっていることがわかります．
位相
今回は，この計算は使わずに，0点同士の差から求めました．
\(\Large \Delta t = -0.60 \ ms \)
理論値は，
\(\Large - tan^{-1} \frac{ \omega L}{R} = -1.53 rad \)
周波数は40 Hz，ですので，一周期が，1/40 = 25 ms.
\(\Large \frac{-1.53}{ 2 \pi} \times 25 \ ms = -0.609 \ ms \)
とほぼ一致していることがわかります．
せっかくなので，過渡現象を含めたRLの直列交流回路にを計算していきます．
RL直列回路を真面目に解く
RL直列回路をラプラス変換で真面目に解く
次に，RLの直列交流回路，について考えていきます．
