誕生日パラドクス-03

次の問題として，

　25人の中で3人が同じ，ほかがバラバラの場合

を考えていきます．

この問題は，

　3人のみかぶり，残りはすべて異なる確率

となりますので，2つの条件をそれぞれ考えていきます．

・3人かぶる確率

・一人目

これは，どの日でもいいので，

\( \Large p_{01} = \frac{365}{365} \)

となります．

・二人目，三人目

は，一人目の日付，ということになりますので，

\( \Large p_{02} = \frac{1}{365} \)

となりますので，総合すると，

\( \Large p_{1,2,3} = \frac{1}{365^2} \)

ただし，25人の中で3人選ぶ場合の数を考えなくてはいけないので，その場合の数は，

\( \Large _{25} C_{03} = \frac{25!}{22! \ 3!} = \frac{25 \times 24 \times 23}{3 \times 2}\)

となり，

\( \Large =\frac{25 \times 24 \times 23}{3 \times 2} \frac{1}{365^2}\)

となります．

・残りはすべて異なる確率

これは，前ページに解説したように，

残りの22人が異なる日となる確率

となりますので，

\( \Large \frac{364}{365} \frac{363}{365} \cdots \frac{343}{365} = \frac{1}{365^{22}} \frac{364!}{342!}\)

となります．したがって，

\( \Large P =\frac{25 \times 24 \times 23}{3 \times 2} \frac{1}{365^2} \frac{1}{365^{22}} \frac{364!}{342!}=0.0085 \)

となり，二人のときには40％弱だったのに，3人となると1％以下となりました．

次に，3人が同じ確率，という一見簡単な場合を考えていきます．