Barkai-Leiblerモデルを考える-06

リカバリーフェーズでの理論

各状態の時間変化は,

\(\Large \displaystyle \frac{d X_m^*}{dt} = -(k_B \cdot B + k_I \cdot I)X_m^* +k_A \cdot X_m \)

\(\Large \displaystyle \frac{d X_m}{dt} = k_I \cdot I \cdot X_m^* - k_A \cdot X_m + k_R \cdot R \)

\(\Large \displaystyle \frac{d X}{dt} = k_B \cdot B \cdot X_m^* - k_R \cdot R \)

さらに,

\(\Large \displaystyle X_m^* + X_m + X = 1\)

の条件の下でこれらの微分方程式を解けばいいわけですが.....私には解けないので,Mathematica,の助けを借りました.

式:

DSolve[{AA'[t] == -(kB + ki)*AA[t] - ka*BB[t],
CC'[t] == kB*AA[t] - kR, AA[t] + BB[t] + CC[t] == 1,
AA[0] == kR/kB*(kB + ka)/(ka + ki),
CC[0] == 1 - kR*(1/ka + 1/kB)}, {AA[t], BB[t], CC[t]}, t]

(簡単のために,AA,BB,CC,で置き換えてみました)

計算結果は,

AA[t] -> (1/(2 kB (ka + ki) Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2]))
E^(-(1/2) (-ka + kB + ki + Sqrt[ 4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2]) t)
(-(-1 + E^( Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2] t)) (kB^2 + 4 kB ki + ki^2 + 3 ka (kB + ki))
+ 2 E^(1/2 (-ka + kB + ki + Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2]) t) ka Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2]
+ kB Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2]
+ E^(Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2] t) kB Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2]
- ki Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2]
- E^(Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2] t) ki Sqrt[ 4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2]
+ 2 E^(1/2 (-ka + kB + ki + Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2]) t) ki Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2]) kR

と...とても解読不可能な式に....

ということで,私なりに考えてみました.

ただ...途中,シミュレーション結果と合わせるために,あまり数学的に正しくない概念を使っていますので,間違っている恐れがあります...

 

・ステップ1:メチル・非メチル化の二状態で考える.

\(\Large \ce{X <=>C[k_B][k_R] X_{m}^{comp}} \)

とメチル化状態をまとめて考えましょう.
 リカバリーフェーズではゆっくりとした応答なので,kB,kRが効いてきそう
 kRは0次反応

そうすれば,

\(\Large \displaystyle \frac{d X_m^{comp}}{dt} = -k_B \cdot B \cdot X_m^{comp} +k_R \)

と簡単な微分方程式となります.

\(\Large \displaystyle t=0 : X_m^{comp} = X_{m_0}^{comp} \)

とすれば,

\(\Large \displaystyle X_m^{comp} = \frac{k_R}{k_B} \left(1-exp[-k_B \cdot B \cdot t] \right)+X_{m_0}^{comp} \)

となります.

・ステップ2:活性化状態の割合を考慮する

刺激直後の活性化状態の割合は,メチル化状態内だけを考えると,

\(\Large \ce{X_{m}^{\Huge{*}} <=>C[k_B][k_R] X_{m}} \)

なので,活性化状態のメチル化状態,の割合は,

\(\Large \displaystyle \frac{X_m^{*}}{X_m^{*}+X_m} = \frac{k_A}{k_A + k_I \cdot I} \)

と,活性化状態のメチル化状態 < メチル化状態,となりますので,リカバリー速度も濃度に応じて少なくなります.

したがって,ステップ1で計算したリカバリー速度の時定数,kBは,

\(\Large \displaystyle k_B \cdot \frac{k_A}{k_A + k_I \cdot I} \)

となることが予想されます.

しかし....これはあくまで刺激直後の状態であり,リカバリーが進むにつれ,徐々に活性化状態のメチル化状態の割合も変化するので,これですべてが解けた,というわけにはいかないのかな?と思います...自信ありません...

では,次ページに,シミュレーションと上記の予測との関係を見てみます.

 

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