Barkai-Leiblerモデルを考える-06
リカバリーフェーズでの理論
各状態の時間変化は,
\(\Large \displaystyle \frac{d X_m^*}{dt} = -(k_B \cdot B + k_I \cdot I)X_m^* +k_A \cdot X_m \)
\(\Large \displaystyle \frac{d X_m}{dt} = k_I \cdot I \cdot X_m^* - k_A \cdot X_m + k_R \cdot R \)
\(\Large \displaystyle \frac{d X}{dt} = k_B \cdot B \cdot X_m^* - k_R \cdot R \)
さらに,
\(\Large \displaystyle X_m^* + X_m + X = 1\)
の条件の下でこれらの微分方程式を解けばいいわけですが.....私には解けないので,Mathematica,の助けを借りました.
式:
DSolve[{AA'[t] == -(kB + ki)*AA[t] - ka*BB[t],
CC'[t] == kB*AA[t] - kR, AA[t] + BB[t] + CC[t] == 1,
AA[0] == kR/kB*(kB + ka)/(ka + ki),
CC[0] == 1 - kR*(1/ka + 1/kB)}, {AA[t], BB[t], CC[t]}, t]
(簡単のために,AA,BB,CC,で置き換えてみました)
計算結果は,
AA[t] -> (1/(2 kB (ka + ki) Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2]))
E^(-(1/2) (-ka + kB + ki + Sqrt[
4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2]) t)
(-(-1 + E^(
Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2] t))
(kB^2 + 4 kB ki +
ki^2 + 3 ka (kB + ki))
+
2 E^(1/2 (-ka + kB + ki + Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2]) t)
ka Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2]
+
kB Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2]
+
E^(Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2] t) kB Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2]
-
ki Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2]
-
E^(Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2] t) ki Sqrt[
4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2]
+
2 E^(1/2 (-ka + kB + ki + Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2]) t)
ki Sqrt[4 ka kB + (-ka + kB + ki)^2]) kR
と...とても解読不可能な式に....
ということで,私なりに考えてみました.
ただ...途中,シミュレーション結果と合わせるために,あまり数学的に正しくない概念を使っていますので,間違っている恐れがあります...
・ステップ1:メチル・非メチル化の二状態で考える.
\(\Large \ce{X <=>C[k_B][k_R] X_{m}^{comp}} \)
とメチル化状態をまとめて考えましょう.
リカバリーフェーズではゆっくりとした応答なので,kB,kRが効いてきそう
kRは0次反応
そうすれば,
\(\Large \displaystyle \frac{d X_m^{comp}}{dt} = -k_B \cdot B \cdot X_m^{comp} +k_R \)
と簡単な微分方程式となります.
\(\Large \displaystyle t=0 : X_m^{comp} = X_{m_0}^{comp} \)
とすれば,
\(\Large \displaystyle X_m^{comp} = \frac{k_R}{k_B} \left(1-exp[-k_B \cdot B \cdot t] \right)+X_{m_0}^{comp} \)
となります.
・ステップ2:活性化状態の割合を考慮する
刺激直後の活性化状態の割合は,メチル化状態内だけを考えると,
\(\Large \ce{X_{m}^{\Huge{*}} <=>C[k_B][k_R] X_{m}} \)
なので,活性化状態のメチル化状態,の割合は,
\(\Large \displaystyle \frac{X_m^{*}}{X_m^{*}+X_m} = \frac{k_A}{k_A + k_I \cdot I} \)
と,活性化状態のメチル化状態 < メチル化状態,となりますので,リカバリー速度も濃度に応じて少なくなります.
したがって,ステップ1で計算したリカバリー速度の時定数,kBは,
\(\Large \displaystyle k_B \cdot \frac{k_A}{k_A + k_I \cdot I} \)
となることが予想されます.
しかし....これはあくまで刺激直後の状態であり,リカバリーが進むにつれ,徐々に活性化状態のメチル化状態の割合も変化するので,これですべてが解けた,というわけにはいかないのかな?と思います...自信ありません...
では,次ページに,シミュレーションと上記の予測との関係を見てみます.