2次元ガウシアン画像の理論計算-02

2次元ガウシアンの積分

極座標変換するので，

\( \Large x^2 + y^2 = r^2 \)

\( \Large x = r \ cos \theta \)

\( \Large y = r \ sin \theta \)

\( \Large Z= \frac{1}{ 2 \ \pi \ \sigma^2} e^{- \frac{y^2}{2 \ \sigma^2}} \)

となります．

nσまで積分するとした場合，積分範囲は，θに関しては，０～２π，ｒに関しては，０からnσ，となります．

さらに変数変換を行い，

\( \Large \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{n \sigma} \frac{1}{ 2 \ \pi \ \sigma^2} e^{- \frac{r^2}{2 \ \sigma^2}} r dr d \theta \)

を計算します．ｒが入っていることに注意してください．

θに関しては，単純に，２π，となりますので，

\( \Large \frac{1}{ \sigma^2} \displaystyle \int_{0}^{n \sigma} e^{- \frac{r^2}{2 \ \sigma^2}} r dr \)

となります．この計算は，ここ，を参考にさせていただいて，

\( \Large - \frac{r^2}{2 \ \sigma^2} = t \)

\( \Large \frac{dt}{dr} = - \frac{r}{\sigma^2} \)

積分範囲は，

\( \Large 0 \ < \ r \ < \ n \sigma \)

\( \Large 0 \ < \ t \ < - \frac{ n^2}{2} \)

となるので，

\( \Large \frac{1}{ \sigma^2} \displaystyle \int_{0}^{- \frac{ n^2}{2}} - \frac{\sigma^2}{r} e^{t} r dt \)

\( \Large = - \displaystyle \int_{0}^{- \frac{ n^2}{2}} e^{t} dt \)

と簡単になります．この積分は簡単で，

\( \Large = - \left[ e^{t} \right]_{0}^{- \frac{ n^2}{2}} \)

\( \Large = 1 - e^{- \frac{ n^2}{2}} \)

となります．

n=1

\( \Large = 1 - e^{- \frac{ 1}{2}} = 1-\frac{1}{\sqrt{e}} \fallingdotseq 0.393 \)

n=2

\( \Large = 1 - e^{- 2} = 1-\frac{1}{e^2} \fallingdotseq 0.865 \)

と算出することができました．