ポアッソン分布-02

まず,ある箱を用意します.
その体積を,V,とします.
その中には分子が,N個,入っています.
体積,Vの箱の中に,小さいスペース,v,を考えましょう.
その中には,分子が,n個,入っています.

完全に分子の分布がランダムだとすると,vの大きさのVに対する比は,

\(\Large P = \frac{v}{V} \)

となります.0<P<1ですね.
スペース,v,に含まれている分子の数の平均は,

\(\Large <n> = N \cdot P \)

となります.
これは,
 平均n個がスペースvにPの確率で存在し,
それ以外の分子が,v以外の部分に存在する

ということになります.
n個と(N-n)個を二つのスペースに分割する場合の数は,分子はおのおの区別できませんので,その場合の値は,二項分布となり,

\(\Large W_n = _N C_n \cdot P^n \cdot (1-P)^{N-n} \)

となります.変形すると,

\(\Large \begin{eqnarray} W_n &=& _N C_n \cdot P^n \cdot (1-P)^{N-n} \\
&=& \frac{N \cdot (N-1) \cdot (N-2) \cdots (N-n+1)}{n!} \left( \frac{<n>}{N} \right)^n \cdot \left( 1- \frac{<n>}{N} \right ) ^{N-n} \\
\end{eqnarray} \) 

さらに変形すると,

\(\Large W_n = \frac{1}{n!} \frac{N \cdot (N-1) \cdot (N-2) \cdots (N-n+1)}{N^n} \cdot <n>^n \cdot \left( 1 - \frac{<n>}{N} \right)^N \cdot \left( 1- \frac{<n>}{N} \right ) ^{-n} \) 

となり,

\(\Large W_n = \frac{1}{n!} \cdot 1 \cdot \left( 1-\frac{1}{N} \right) \cdot \left( 1-\frac{2}{N} \right) \cdot \left( 1-\frac{n-1}{N} \right) \cdot <n>^n \cdot \left( 1 - \frac{<n>}{N} \right)^N \cdot \left( 1- \frac{<n>}{N} \right ) ^{-n} \) 

ここで,Nを非常に大きい数としますと,

\(\Large W_n = \frac{1}{n!} \cdot \color {blue}{1 \cdot \left( 1-\frac{1}{N} \right) \cdot \left( 1-\frac{2}{N} \right) \cdot \left( 1-\frac{n-1}{N} \right)} \cdot <n>^n \cdot \left( 1 - \frac{<n>}{N} \right)^N \cdot \color {blue}{\left( 1- \frac{<n>}{N} \right ) ^{-n}} \) 

青色の部分が,,となってしまいます.

特に注意してほしいのは,

\(\Large \color {blue}{\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \left( 1- \frac{<n>}{N} \right ) ^{-n} = 1} \) 

となりますが,

\(\Large \color {back}{\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \left( 1- \frac{<n>}{N} \right ) ^{N}} \neq 1\) 

となることです.


さらに,公式,

\(\Large \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \left( 1- \frac{x}{N} \right ) ^{N} = e^{-x}\) 

を使って,まとめると,

\(\Large \begin{eqnarray} W_n &=& \frac{1}{n!} \cdot <n>^n \cdot e^{-<n>} \\
&=& \frac{<n>^m}{n!} \cdot e^{-<n>} \\
\end{eqnarray} \) 

となります.

これが,ポアッソン分布です.

では具体的な数値を入れてみましょう.

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