最近接長 (Nearest Neighbor Distance)-03-平均

ｒの平均値はｒを０から∞までの間，確率の積とともに積分すればよいので，

全く粒子が存在しないのですから，ポアソン分布に従うとすると，

\(\Large <r> = \int_0^\infty r \cdot P(r) dr = \int_0^\infty r \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \rho \cdot e^{-\pi \cdot r^2\cdot\rho} dr\)

\(\Large \hspace{ 35pt } = 2 \cdot \pi \cdot \rho \cdot \int_0^\infty r^2 \cdot e^{-\pi \cdot \cdot\rho r^2} dr\)

となります．

ここで，積分公式を使い，

\(\Large \int_0^\infty x^{2n} \cdot e^{-a \cdot x^2} dx = \frac{(2n-1)(2n-3) \cdot \cdot \cdot 3 \cdot1}{2^{n+1}} \sqrt{\frac{\pi}{a^{2n+1}}} \hspace{30 pt}(a>0)\)

今回は，

\(\Large n=1\)

\(\Large a=\pi \cdot \rho\)

となるので，

\(\Large \int_0^\infty x^2 \cdot e^{-a \cdot x^2} dx = \frac{1}{2^2} \sqrt{\frac{\pi}{a^3}} \)

であり，

\(\Large <r> = 2 \cdot \pi \cdot \rho \cdot \int_0^\infty r^2 \cdot e^{-\pi \cdot \cdot\rho\cdot r^2} dr\)

\(\Large \hspace{ 37pt } = 2 \cdot \pi \cdot \rho \cdot \frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{(\pi \cdot \rho)^3}}\)

\(\Large \hspace{ 37pt } = \sqrt{\frac{\pi^2 \cdot \rho^2}{4} \frac{\pi}{(\pi \cdot \rho)^3}}\)

\(\Large \hspace{ 37pt } = \sqrt{\frac{1}{4 \cdot \rho}}\)

\(\Large \hspace{ 37pt } = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{\rho}}\)

と結論づけることができました．