最近接長 (Nearest Neighbor Distance)-02

１． ある点から半径ｒの円内には全く他の点が存在しない

について考えていきましょう．

全く粒子が存在しないのですから，ポアソン分布に従うとすると，

\(\Large x =0\)

となります．また，面積Sは，

\(\Large S = \pi \cdot r^2\)

この条件で存在確率を考えると，0の階乗は１となるので，

\(\Large P(0) = \frac{(\pi \cdot r^2\cdot\rho)^0}{0!}\cdot e^{-\pi \cdot r^2\cdot\rho}\)

\(\Large \hspace{ 35pt } = e^{-\pi \cdot r^2\cdot\rho}\)

となります．

２． 半径ｒとｒ＋ｄｒで区切られた微小な環状面積に少なくとも1つは粒子が存在する．

について考えていきましょう．

すくなくとも1個，ということは，０でなければ何個でもいい，ということなります．
つまり，全体から０である確率を引けばいい，ということです．

ここで，環状面積は，r>>dr，から以下のように近似できます．

\(\Large \pi\cdot (r+dr)^2 - \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (r^2+2r \cdot dr + dr^2 - r^2)\)

\(\Large \hspace{ 35pt } \cong 2 \cdot \pi \cdot r \cdot dr\)

従って，

\(\Large P(\neq 0) = 1-P(0) = 1- e^{-2 \cdot \pi \rho \cdot r \cdot dr}\)

さらに近似式を使い，

\(\Large e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdot \cdot \cdot \)

\(\Large 1-e^x \cong -x\)

なので，

\(\Large P(\neq 0) = 1-P(0) = 2 \cdot \pi \cdot \rho \cdot r \cdot dr\)

となります．

１．，２．の条件を満たすためには，

両方の条件を満たすためには，両者の積で表すことになるので，

\(\Large P(r) dr = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \rho \cdot dr \cdot e^{-\pi \cdot r^2\cdot\rho}\)

となります．

ここで，

\(\Large \beta^2 \equiv \frac{1}{\pi \rho}\)

とおくと，

\(\Large P(r) = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \rho \cdot e^{-\pi \cdot r^2\cdot\rho}\)

\(\Large \hspace{ 45pt } = \frac{2}{\beta^2} \cdot r \cdot e^{-\pi \cdot r^2\cdot\rho}\)

となり，これは，レイリー分布，となります．

つぎに平均がいくつになるかについて考えていきましょう．