マクローリン展開-01
数学ではいろいろな展開方式があります.
フーリエ展開,テイラー展開等々....
その中で,フーリエ展開に関しては,フーリエ変換,として説明しました.
今回は,マクローリン展開について説明したいと思います.
マクローリン展開とは,
任意の関数ををべき級数で表すもの
というものです.つまり,
\(\Large \displaystyle f(x) = a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 +a_3 \cdot x^3 + a_4 \cdot x^4 \cdots \)
のような形ですね.
問題は,いかにして,a0, a1, a2.....を表すかですが,順を追って説明しましょう.
まずは,a0,からです.これは簡単ですね.x=0,のばあいを計算すればよいのです.
\(\Large \displaystyle f(0) = a_0 + a_1 \cdot 0 + a_2 \cdot 0^2 +a_3 \cdot 0^3 + a_4 \cdot 0^4 + \cdots = a_0 \)
次は,a1,からです.今度はf(x)を一度微分して.x=0,のばあいを計算すればよいのです.
\(\Large \displaystyle f'(x) = a_1 + 2 \cdot a_2 \cdot x +3 \cdot a_3 \cdot x^2 + 4 \cdot a_4 \cdot x^3 + \cdots \)
\(\Large \displaystyle f'(0) = a_1 \)
同様に,a2,に関しては,二回微分すればよく,
\(\Large \displaystyle f''(x) = 2 \cdot a_2 +3 \cdot 2 \cdot a_3 \cdot x + 4 \cdot 3 \cdot a_4 \cdot x^2 + \cdots \)
\(\Large \displaystyle f''(0) = 2 \cdot a_2 \)
a3は三回微分,
\(\Large \displaystyle f'''(x) = 3 \cdot 2 \cdot a_3 + 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot a_4 \cdot x + \cdots \)
\(\Large \displaystyle f'''(0) = 3 \cdot 2 \cdot a_3 \)
つまり,
\(\Large \displaystyle f^{(n)}(0) = n! \cdot a_n \)
となるので,
\(\Large \displaystyle a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \)
と計算できます.結果として,
\(\Large \displaystyle f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^i \)
と置くことができます.
マクローリン展開は,x=0,を中心にべき級数で展開したが,
任意の点,aでのべき級数での展開:テイラー展開
べき級数ではなく,三角関数:フーリエ展開
と考えることができます(少々乱暴ですが...)
次に具体的な関数について,マクローリン展開を行っていきましょう.