直線近似の求め方-02-1

別の方法（記述方法）で求めていきましょう．

まずは，ei，の二乗の和を求めていきましょう．

\( \Large \displaystyle \sum_{i=1}^n e_i^2 = \displaystyle \sum_{i=1}^n (y_i - ax_i-b )^2 \)

分解せずに，そのまま，a，b，で微分してみましょう．この値が０となるので，

\( \Large \displaystyle \frac{ \partial }{ \partial a } \displaystyle \sum_{i=1}^n e_i^2 = -2 \displaystyle \sum_{i=1}^n ( y_i - b - a x_i) \cdot x_i = 0 \)

\( \Large \displaystyle \frac{ \partial }{ \partial b } \displaystyle \sum_{i=1}^n e_i^2 = -2 \displaystyle \sum_{i=1}^n ( y_i - b - a x_i) = 0 \)

となります，したがって，

\( \Large \displaystyle \sum_{i=1}^n \left \{ ( y_i - b - a x_i) \cdot x_i \right \} = 0 \)

\( \Large \displaystyle \sum_{i=1}^n ( y_i - b - a x_i) = 0 \)

となるので，それぞれ分離して，ｎで割ると，

\( \Large \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i y_i - \frac{1}{n} b \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i - \frac{1}{n} a \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2 = 0 \)

\( \Large \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i - b - \frac{1}{n} a \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i = 0 \)

これを書き換えると，

\( \Large \displaystyle \overline{ xy} - b \overline{x} - a \displaystyle \overline{x^2} = 0 \)

\( \Large \displaystyle \overline{ y} - b - a \displaystyle \overline{x} = 0 \)

となります，2式に\( \Large \displaystyle \overline{ x} \)をかけて，

\( \Large \displaystyle \overline{ xy} - b \overline{x} - a \overline{x^2} = 0 \)

\( \Large \displaystyle \bar{ x}\bar{y} - b \overline{ x} - a (\overline{x})^2 = 0 \)

両式の差分は，

\( \Large \displaystyle \bar{ x}\bar{y} - \overline{ xy} = \left\{ (\overline{x})^2 - \overline{x^2} \right \} a\)

\( \Large \displaystyle \color{red}{a= \frac{\bar{ x}\bar{y} - \overline{ xy} }{ (\overline{x})^2 - \overline{x^2} }} \)

bはそのまま，

\( \Large \displaystyle \color{red}{b = \overline{y} - a \overline{x}} \)

となります．