第二項が0となる理由
第二項は，
\( \Large \displaystyle =\sum_{i=1}^n 2 e_i (\hat{y_i} - \overline{y}) \)
\( \Large \displaystyle =\sum_{i=1}^n 2 e_i \cdot \hat{y_i} - \sum_{i=1}^n 2 e_i \cdot \overline{y} \)
\( \Large \displaystyle = 2 \left[ \sum_{i=1}^n e_i \cdot (a x_i + b) - \overline{y} \cdot \sum_{i=1}^n e_i \right] \)
\( \Large \displaystyle = 2 \left[ a \cdot \sum_{i=1}^n e_i \cdot x_i - (b - \overline{y}) \cdot \sum_{i=1}^n e_i \right] \)
つまり，
\( \Large \displaystyle \sum_{i=1}^n e_i \cdot x_i \), \( \Large \hspace{12pt} \displaystyle \sum_{i=1}^n e_i \)
のそれぞれが，０，になればいいのですね．
まずは最初の項目．
回帰直線は以下の式で表されます．
\( \Large \displaystyle \hat{y_i} = a x_i +b \)
両辺に，xi，をかけると，
\( \Large \displaystyle \hat{y_i} \cdot x_i= a x_i^2 +b \cdot x_i \)
iについて足しあわせると，
\( \Large \displaystyle \sum_{i=1}^n \displaystyle \hat{y_i} \cdot x_i= a \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2 +b \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \)
右辺は，各点における回帰分析による推定値と実測値との差，ei，の二乗をaで偏微分したものと等しくなります（ここを参照）．
\( \Large \displaystyle a \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2 +b \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i = \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i y_i \)
従って，
\( \Large \displaystyle \sum_{i=1}^n \displaystyle \hat{y_i} \cdot x_i = \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i y_i \)
ｙの推定値を書き換えると，
\( \Large \displaystyle e_i = y_i - \hat{y_i} \)
従って，
\( \Large \displaystyle \sum_{i=1}^n \displaystyle (y_i - e_i) \cdot x_i = \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i y_i \)
\( \Large \displaystyle \sum_{i=1}^n \displaystyle x_i y_i - \displaystyle \sum_{i=1}^n e_i \cdot x_i= \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i y_i \)
したがって，
\( \Large \displaystyle \displaystyle \sum_{i=1}^n e_i \cdot x_i= 0 \)
となり，０となります．
次に二つ目の項目について． 各点における回帰分析による推定値と実測値との差，ei，の二乗をbで偏微分したものは（ここを参照）．
\( \Large \displaystyle a \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i + nb = \displaystyle \sum_{i=1}^n y_i \)
となります．
\( \Large \displaystyle \hat{y_i} = a x_i +b \)
iについて足しあわせると，，
\( \Large \displaystyle \sum_{i=1}^n \displaystyle \hat{y_i} = a \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i +nb \)
つまり，
\( \Large \displaystyle \sum_{i=1}^n \displaystyle \hat{y_i} = \displaystyle \sum_{i=1}^n y_i \)
となります．
ｙの推定値を書き換えると，
\( \Large \displaystyle e_i = y_i - \hat{y_i} \)
和をとると，
\( \Large \displaystyle \sum_{i=1}^n \displaystyle \displaystyle (y_i - e_i) = \sum_{i=1}^n \displaystyle \hat{y_i} \)
したがって，
\( \Large \displaystyle \sum_{i=1}^n \displaystyle \displaystyle e_i = 0 \)
となり，０となります．
よって，二つとも0となるので，第二項は0となります．