ガンマ分布と逐次反応-01

逐次反応のステップ数とガンマ分との関係はいくつか記載しましたが（ここ，ここ，ここ，ここ，ここ），

多段階の逐次反応がなぜガンマ分布で説明できるか？

という点についてまとめてみます．

ここで，条件として，

　各状態間の速度定数はすべて同じ，λ(1/s)，である

があります

・2ステップ

計算は，ここ，と同じです．

\( \Large A \xrightarrow{\lambda} B \xrightarrow{\lambda} C\)

という状態を考えます．

それぞれのステップの時間が，t₁, t₂である時間は，

\( \Large A \xrightarrow{\lambda} B : \lambda e^{- \lambda t_1} \)

\( \Large B \xrightarrow{\lambda} C : \lambda e^{- \lambda t_2} \)

つまり，t=t₁+t₂，であるためには，

\( \Large t_2 = t - t_1 \)

の関係があるので，それぞれの確率の積を，t₁を，0～tに渡って積分すればいいのです．

\( \Large  \begin{eqnarray} && \displaystyle \int_{0}^{ t} \lambda e^{- \lambda t_1} \cdot \lambda e^{- \lambda (t-t_1)} dt_1 \\
&=& \lambda^2 \displaystyle \int_{0}^{ t} e^{- \lambda t_1} \cdot e^{- \lambda t} \cdot e^{ \lambda t_1} dt_1\\
&=& \lambda^2 e^{- \lambda t} \cdot \displaystyle \int_{0}^{ t} dt_1\\
&=& \lambda^2 \cdot t \cdot e^{- \lambda t} \\
\end{eqnarray} \)

となります．

次は3ステップ．