ガンマ分布の性質-01

規格化

ガンマ分布は，

\(\Large \displaystyle f(t) = \frac{x^{ k -1} \ exp^{ - x/ \theta}}{ \Gamma ( k ) \ \theta^{ k } } \)

です．ここで，ガンマ関数は，

\(\Large \displaystyle \Gamma(x) = \int_0^{ \infty} t^{x -1} \ e^{ - t} dt \)

となります．規格化を検討するには，全積分（0から∞）が1となればいいので，

\(\Large \displaystyle \int_0^{ \infty} \frac{x^{ k -1} \ e^{ - x/ \theta}}{ \Gamma ( k ) \ \theta^{ k } } dx
\)

を考えます．変数変換を行い，

\(\Large \displaystyle y \equiv \frac{x}{ \theta} \rightarrow dy = \frac{dx}{ \theta} \)

\(\Large \displaystyle 0 \sim x \sim \infty \)

\(\Large \displaystyle 0 \sim y \sim \infty \)

\(\Large \displaystyle \frac{1}{\Gamma ( k ))} \int_0^{ \infty} x^{ k -1} \ e^{ - x/ \theta} \ \theta^{ -k } dx\)

\(\Large \displaystyle = \frac{1}{\Gamma ( k ))} \int_0^{ \infty} (y \theta)^{ k -1} \cdot e^{ -y} \cdot \theta^{ -k } \cdot \theta \ dy\)

\(\Large \displaystyle = \frac{1}{\Gamma ( k ))} \int_0^{ \infty} y ^{ k -1} \cdot e^{ -y} \ dy\)

\(\Large \displaystyle = \displaystyle\frac{ \displaystyle \int_0^{ \infty} y ^{ k -1} \cdot e^{ -y} \ dy}{ \displaystyle \int_0^{ \infty} t^{x -1} \cdot e^{ - t} \ dt } \)

と分子・分母とも同じ積分となるので，１となります．

期待値

期待値は，

\(\Large \displaystyle E[x] = \int_0^{ \infty} x \ f(x) dx
\)

ですので，ガンマ分布の期待値は，

\(\Large \displaystyle E[x] = \int_0^{ \infty} x \ \frac{x^{ k -1} \ e^{ - x/ \theta}}{ \Gamma ( k ) \ \theta^{ k } } dx
\)

\(\Large \displaystyle = \int_0^{ \infty} \frac{x^{ (k+1) -1} \ e^{ - x/ \theta}}{ \Gamma ( k ) \ \theta^{ k } } dx
\)

ガンマ関数の性質として，

\(\Large \displaystyle \Gamma(z+1) = z \ \Gamma ( z ) dx
\)

があります．（詳細は，ここ）．したがって，k+1，の形に持っていくと，期待値は，

\(\Large \displaystyle = \int_0^{ \infty} \frac{ \theta \ x^{ (k+1) -1} \ e^{ - x/ \theta}}{ k^{-1} \ \Gamma ( k+1 ) \ \theta^{ k+1} } dx
\)

\(\Large \displaystyle = k \theta \int_0^{ \infty} \frac{ \ x^{ (k+1) -1} \ e^{ - x/ \theta}}{ \Gamma ( k+1 ) \ \theta^{ k+1} } dx
\)

この積分項は，k+1のガンマ分布の全積分となるので，1となります．したがって，

\(\Large \displaystyle E[x] = k \theta \)

となります．

分散

二乗の期待値は

\(\Large \displaystyle E[x^2] = \int_0^{ \infty} x^2 \ f(x) dx
\)

ですので，ガンマ分布の二乗の期待値は，

\(\Large \displaystyle E[x^2] = \int_0^{ \infty} x^2 \ \frac{x^{ k -1} \ e^{ - x/ \theta}}{ \Gamma ( k ) \ \theta^{ k } } dx
\)

\(\Large \displaystyle = \int_0^{ \infty} \frac{x^{ (k+2) -1} \ e^{ - x/ \theta}}{ \Gamma ( k ) \ \theta^{ k } } dx
\)

上の期待値と同様に，

\(\Large \displaystyle = \int_0^{ \infty} \frac{ \theta^2 \ x^{ (k+2) -1} \ e^{ - x/ \theta}}{ k^{-1} \ \Gamma ( k+1 ) \ \theta^{ k+2} } dx
\)

\(\Large \displaystyle = \int_0^{ \infty} \frac{ \theta^2 \ x^{ (k+2) -1} \ e^{ - x/ \theta}}{ k^{-1} (k+1)^{-1} \ \Gamma ( k+2 ) \ \theta^{ k+2} } dx
\)

\(\Large \displaystyle = k (k+1) \ \theta^2 \int_0^{ \infty} \frac{ \ x^{ (k+2) -1} \ e^{ - x/ \theta}}{ \ \Gamma ( k+2 ) \ \theta^{ k+2} } dx
\)

この積分項は，k+2のガンマ分布の全積分となるので，1となります．したがって，

\(\Large \displaystyle E[x^2] = k (k+1) \ \theta^2\)

となります．分散は，

\(\Large \displaystyle V[x] = E[x^2] - (E[x])^2 = k (k+1) \ \theta^2 - (k \theta)^2 = k \theta^2 \)

となります．