ガンマ関数，統計，検定などで頻繁に出てくるようになってきました．ですので，その性質についてまとめてみましょう．
こちら，のサイトを参考にさせていただきました．
ガンマ関数とは，
\(\Large \displaystyle \Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} \ e^{-t} dt \)
を指します．いくつかの性質を記述していきます．
・階乗の一般化
任意の正の整数 n n に対して，
\(\Large \displaystyle \Gamma(n+1) = n! \)
が成り立ちます．
証明
\(\Large \displaystyle \Gamma(1) = \int_0^{\infty} t^{1-1} \ e^{-t} dt \)
\(\Large \displaystyle = \int_0^{\infty} e^{-t} dt = \left[ -e^{-t} \right]_0^{ \infty} = 1 \)
となります．
\(\Large \displaystyle \Gamma(n+1) = \int_0^{\infty} t^{n} \ e^{-t} dt \)
となるので，部分積分を使えば，
\(\Large \displaystyle (fg)' = f'g + fg' \)
\(\Large \displaystyle \int f'g = \int (fg)' - \int fg' = fg - \int fg' \)
\(\Large \displaystyle g = t^n \rightarrow g' = n \ t^{n-1} \)
\(\Large \displaystyle f' = e^{-t} \rightarrow f = - e^{-t} \)
とすれば，
\(\Large \displaystyle \int_0^{\infty} t^{n} \ e^{-t} dt = \left[ -e^{-t} \ t^n \right] - \int_0^{\infty} n t^{n-1} \ (-e^{-t}) dt \)
\(\Large \displaystyle = 0 + n \int_0^{\infty} t^{n-1} \ e^{-t} dt \)
\(\Large \displaystyle = n \Gamma(n) \)
となります．
\(\Large \displaystyle \Gamma(1) = 1 \)
でしたが，階乗は，
\(\Large \displaystyle 5! = 4! \times 5 \)
\(\Large \displaystyle 4! = 3! \times 4 \)
\(\Large \displaystyle 3! = 2! \times 3 \)
\(\Large \displaystyle 2! = 1! \times 2 \)
\(\Large \displaystyle 1! = 0! \times 1 \)
から，
\(\Large \displaystyle 0! = 1 \)
となりますので，
\(\Large \displaystyle \Gamma(1) = 1 = 0! \)
と書くことができます．したがって，
\(\Large \displaystyle \Gamma(2) = 1 \cdot \Gamma(1) = 1 \times 0! =1! \)
\(\Large \displaystyle \Gamma(3) = 2 \cdot \Gamma(2) = 2 \times 1! =2! \)
\(\Large \displaystyle \Gamma(4) = 3 \cdot \Gamma(3) = 3 \times 2! =3! \)
\(\Large \displaystyle \Gamma(n) = (n-1)! \)
\(\Large \displaystyle \Gamma(n+1) = n! \)
となります．
・+１の場合
上の式の途中にあるように，
\(\Large \displaystyle \Gamma(n+1) = n \Gamma(n) \)
となります．これに関しては，ｎを整数と制約していませんので，整数ではなくても成り立ちます．
\(\Large \displaystyle \Gamma\left( \frac{1}{2} \right) = \int_0^{\infty} t^{\frac{1}{2}-1} \ e^{-t} dt \)
\(\Large \displaystyle = \int_0^{\infty} t^{-\frac{1}{2}} \ e^{-t} dt \)
ここで，
\(\Large \displaystyle t \equiv u^2 \)
とおくと，
\(\Large \displaystyle dt = 2u \ du \)
積分範囲は変わらないので，
\(\Large \displaystyle \int_0^{\infty} t^{-\frac{1}{2}} \ e^{-t} dt = \int_0^{\infty} u^{-1} \ e^{-u^2} \ u \ dt\)
\(\Large \displaystyle = \int_0^{\infty} e^{-u^2} \ dt\)
これはガウス積分，になるので，
\(\Large \displaystyle = \sqrt{ \pi} \)
つまり，
\(\Large \displaystyle \Gamma\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{ \pi} \)
となります．