ガンマ関数の導出-1

では，まず，WolframMathWorld，ではどのようにして導出していくかを見ていきましょう．

説明によると，
　Consider the distribution function D(x) of waiting times until the hth Poisson event given a Poisson distribution with a rate of change λ,
とあります．ここで， distribution function，とは，
　分布関数
と言う意味ですが，累積分布関数，ともいいます．
つまり，-∞（もしくは∞）から，x，までに該当する確率，と考えればいいでしょう．

と言うことで，D(x)，とは，
　レート，λ，で起こるランダムなイベントがh回以上起こる確率
と言うことになります，式に表すと，

となります．
と言うことは，h回未満起こる確率を全体から引いたものに等しいので，

と同じことになります．
ここで，h回未満起こる確率，とは，たとえば，
　h=3
とすると，
　h=0,1,2
回起こる確率を意味します．このイベントはポアソン過程に従うので，

と置き換えることができます．

次に，累積ではなく，ある，x，に対して起こる確率，確率密度関数，を考えていきましょう．