水溶液中のポリスチレンビーズの分布
水溶液中なので，浮力が働きます．
ですので，実効質量を考えなくてはなりません．
\(\Large \begin{align*} m' &= m - V \rho_{0} \\
&= V \rho - V \rho_{0} \\
&= \frac{4}{3} \pi r^{3} (\rho - \rho_{0}) \end{align*} \)
m：物体の質量
m'：物体の実効質量
V：物体の体積
ρ：物体の密度
r：物体の半径
ρ0：溶媒の密度
です．
ビーズの分布も重力に依存しますので，底面との比較では，
\(\Large E = m' g h \)
\(\Large \frac{P_{i}}{P_{j}} = e^{- \frac{E_{i} - E_{j}}{k_{B} T}} \)
\(\Large \frac{P_{h}}{P_{0}} = e^{- \frac{m' g h}{k_{B} T}} \)
となります．ここで，
Pｈ：高さ，ｈ，での確率
P0：地面での確率
m'：質量
ｇ：重力加速度
ｈ：高さ
となります．
ここで，
ρ：水の密度(1 g/cm3=103 kg/m3)
ρ0：：ビーズの密度(1.05 g/cm3=1.05×103 kg/m3)
として計算すると，底面に比べて，ビーズの量が半分になるのは，
\(\Large \begin{align*} h &= - ln \frac{1}{2} \cdot \frac{k_{B} T}{m' g} \\
&=
(-0.693) \frac{k_{B} T}{g} \frac{3}{ 4 \pi r^{3} ( \rho_{0} - \rho)} \\
&= -(-0.693) \frac{4.14 \times 10^{-21} [Nm]}{10 [m/s^{2}} \frac{3}{4 \pi r^{3} [m^{3}] \cdot 0.05 \times 10^{3} [kg/m^{3}]} \end{align*} \)
と言う計算をすればよいこととなります．式を見ればわかるように，ビーズの半径，ｒ，に依存しますので，いろいろな径のビーズを考えると，
| ビーズの半径 | 半分になる高さ |
| 0.1 um | 1.37 mm |
| 0.5 um | 11 um |
| 1 um | 1.37 um |
と普段よく使うビーズでも大きく変わることがわかりますね．