・遠心力-位置ベクトル・速度ベクトル・加速度ベクトル

・位置ベクトル

原点 O を中心とした半径 r の円周上を角速度 ω で等速円運動する質点の位置 r=(x,y) の各成分は

\( \Large \displaystyle x(t) = r \cdot cos ( \omega \cdot t + \theta_0) \)

\( \Large \displaystyle y(t) = r \cdot sin ( \omega \cdot t + \theta_0) \)

となります．

・速度ベクトル

速度は，

\( \Large \displaystyle v_x (t) = \frac{dx}{dt} = - \omega \cdot r \cdot sin ( \omega \cdot t + \theta_0) \)

\( \Large \displaystyle v_y (t) = \frac{dy}{dt} = \omega \cdot r \cdot cos ( \omega \cdot t + \theta_0) \)

です．位置ベクトルｒと速度ベクトルｖの内積は，

\( \Large \displaystyle \vec{ r} \cdot \vec{v} = r \cdot cos ( \omega \cdot t + \theta_0) \{ - \omega \cdot r \cdot sin ( \omega \cdot t + \theta_0) \}
+ r \cdot sin ( \omega \cdot t + \theta_0) \{ \omega \cdot r \cdot cos ( \omega \cdot t + \theta_0 ) \} \)

\( \Large \displaystyle = - r^2 \cdot \omega \cdot sin ( \omega \cdot t + \theta_0) \cdot cos ( \omega \cdot t + \theta_0) + r^2 \cdot \omega \cdot sin ( \omega \cdot t + \theta_0) \cdot cos ( \omega \cdot t + \theta_0) \)

\( \Large \displaystyle = 0 \)

より，速度 v は位置 r （動径方向）と直交し，接線方向を向いていることになります．

・加速度ベクトル

加速度は，

\( \Large \displaystyle \alpha_x (t) = \frac{d v_x}{dt} = - \omega^2 \cdot r \cdot cos ( \omega \cdot t + \theta_0) = - \omega^2 \cdot x\)

\( \Large \displaystyle \alpha_y (t) = \frac{d v_y}{dt} = - \omega^2 \cdot r \cdot sin ( \omega \cdot t + \theta_0) = - \omega^2 \cdot y\)

となり，位置ベクトルとは逆の向きとなります．

速度ベクトルvと加速度ベクトルαの内積は，

\( \Large \displaystyle \vec{ v} \cdot \vec{ \alpha} = - \omega \cdot r \cdot sin ( \omega \cdot t + \theta_0) \{ - \omega^2 \cdot r \cdot cos ( \omega \cdot t + \theta_0) \}
+ \omega \cdot r \cdot cos ( \omega \cdot t + \theta_0) \{ - \omega^2 \cdot r \cdot sin ( \omega \cdot t + \theta_0 \} \)

\( \Large \displaystyle = r^2 \cdot \omega^3 \cdot sin ( \omega \cdot t + \theta_0) \cdot cos ( \omega \cdot t + \theta_0) - r^2 \cdot \omega^3 \cdot sin ( \omega \cdot t + \theta_0) \cdot cos ( \omega \cdot t + \theta_0) \)

\( \Large \displaystyle = 0 \)

となり，速度ベクトルｖと加速度ベクトルαは直交していることになります．
また，加速度の大きさは，

\( \Large \displaystyle \vec{\alpha} = \sqrt{ \alpha_x^2 + \alpha_y^2 } = \sqrt{ ( - \omega^2 \cdot x)^2 + ( - \omega^2 \cdot y)^2} = \omega^2 \cdot \vec{r} \)

と遠心力を導き出すことができます．

・位置ベクトル，速度ベクトル，加速度ベクトルと象限

上で計算したように，

\( \Large \displaystyle x(t) = r \cdot cos ( \omega \cdot t + \theta_0) \)

\( \Large \displaystyle y(t) = r \cdot sin ( \omega \cdot t + \theta_0) \)

\( \Large \displaystyle v_x (t) = - \omega \cdot r \cdot sin ( \omega \cdot t + \theta_0) \)

\( \Large \displaystyle v_y (t) = \omega \cdot r \cdot cos ( \omega \cdot t + \theta_0) \)

\( \Large \displaystyle \alpha_x (t) = - \omega^2 \cdot r \cdot cos ( \omega \cdot t + \theta_0) \)

\( \Large \displaystyle \alpha_y (t) = - \omega^2 \cdot r \cdot sin ( \omega \cdot t + \theta_0) \)

となりますので，各象限についての極性を考えると，

となり，加速度のｘ，ｙの方向は，

　第一象限　：　マイナス，マイナス

　第二象限　：　プラス，マイナス

　第三象限　：　プラス，プラス

　第四象限　：　マイナス，プラス

となり，加速度ベクトルは常に円軌道の中心にむかうことになります．

次は，トルク，です．