ウィルコクソンの符号順位統計量，別の計算方法

こちらのサイトをでは，今まで計算した方法とは異なる方法で検定しています．

ここまでは一緒です．

次に順位の絶対値に元の差の符号を加えます．

この符号付きの合計，二乗の値，および合計を求めます．

この，"-37"，はマイナスですが，プラスの場合もマイナスの符号を加えます．

この符号の値，を符号の二乗の平方根で割ると，

\(\Large \displaystyle \frac{-37}{\sqrt{385}} = -1.886 \)

となり，先の結果と一致します．

この一致を検討していきましょう．

先の計算のｚ値は，

\(\Large \displaystyle z_+ = \frac{T_+-E(T_+)}{\sqrt{V(T_+)}} = \frac{T_+-\frac{n(n+1)}{4}}{\sqrt{V(T_+)}}　\)

\(\Large \displaystyle z_- = \frac{T_--E(T_-)}{\sqrt{V(T_-)}} = \frac{T_--\frac{n(n+1)}{4}}{\sqrt{V(T_-)}}　　\)

+側，-側の合計は，

\(\Large \displaystyle T_+ + T_- = S = \frac{n(n+1)}{2}　\)

また，

\(\Large \displaystyle 1^2 + 2^2 +......+N^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}　\)

から，差分は，

\(\Large \displaystyle T_+ - T_- = T_+ - \left\{ \frac{n(n+1)}{2} - T_+ \right\} =2 T_+ -　\frac{n(n+1)}{2} = 2 \left\{ T_+ - \frac{n(n+1)}{4} \right\} \)

したがって，上記の計算は，

\(\Large \displaystyle \frac{T_+ - T_- }{\sqrt{1^2 + 2^2 +......+N^2}} = \frac{2 \left\{ T_+ - \frac{n(n+1)}{4} \right\} }{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}}
= \frac{2 \left\{ T_+ - \frac{n(n+1)}{4} \right\} }{2 \sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}}\)

\(\Large \displaystyle = \frac{ T_+ - \frac{n(n+1)}{4} }{ \sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}}
= \frac{T_+ - E}{\sqrt{V}} \)

となり，一致します．

いろいろな計算方法があるものです．

次は，私の素朴な疑問，についてです．