最近接長 (Nearest Neighbor Distance)-01

最近接長とは,

ランダムに分布された粒子同士において,一番近い粒子との距離の平均値

となります.

つまり,ぱらぱらとランダムに粒子をばらまいたときに,一番近い粒子との距離はどのくらい?というものです.

ランダムな現象なので,確率的振る舞いとなりますので,ポアソン分布,から考えていきましょう.

今回は,このサイト,を参考にさせていただきました.

このときの平均の密度を,ρ,とした場合,ある面積,S,に存在する粒子の数の平均値は,

\(\Large \lambda = S\cdot\rho\)

となります.ポアソン分布に従うとしたので,その値の分布は,以下の式で表すことができます.

\(\Large P(x) = \frac{(S\cdot\rho)^x}{x!}\cdot e^{-S\cdot\rho}\)

さて,最近接距離(Nearest Neighbor Distance)の定義は,

ランダムに分布された粒子同士において,一番近い粒子との距離の平均値

とあるので,以下の条件を満足させる必要がある.

1. ある点から半径rの円内には全く他の点が存在しない

2. 半径rとr+drで区切られた微小な環状面積に少なくとも1つは粒子が存在する.

となります.

これらの条件について考えていきましょう.

t r