ラプラス変換_積分

・ 積分

\( \Large\mathfrak{ L} \left[ \displaystyle \int_0^{t} \ f( \tau )d \tau \right] =\displaystyle \frac{F(s)}{s} \)

の証明を行います．

\( \Large = \displaystyle \int_0^{\infty} \left( \int_0^{ t} f( \tau )d \tau \right) \cdot e^{-st} \ dt \)

\( \Large = \displaystyle \int_0^{\infty} \left( \int_0^{ t} f( \tau )d \tau \right) \cdot \left( - \frac{1}{s} e^{-st} \right)' \ dt \)

部分積分から，

\( \Large (f \ g )' = f' \ g + f \ g' \)

\( \Large f \ g' = (f \ g )' - f' \ g \)

\( \Large \int f \ g' = \int (f \ g )' - \int f' \ g \)

\( \Large \int f \ g' = [f \ g ] - \int f' \ g \)

\( \Large \displaystyle g' = \left( - \frac{1}{s} e^{-st} \right)' \rightarrow g = - \frac{1}{s} e^{-st} \)

\( \Large \displaystyle f =\int_0^{ t} f( \tau )d \tau \rightarrow f' = f(t) \)

\( \Large \displaystyle \int_0^{\infty} \left( \int_0^{ty} f( \tau )d \tau \right) \cdot \left( - \frac{1}{s} e^{-st} \right)' \ dt
　= \left[ \left( \int_0^{ t} f( \tau )d \tau \right) \cdot \left( - \frac{1}{s} e^{-st} \right) \right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{ \infty } f(t) \cdot \left( - \frac{1}{s} \ e^{-st} \right) \ dt \)

右辺第一項を考えてみると，

\( \Large \displaystyle \left[ \left( \int_0^{ t} f( \tau )d \tau \right) \cdot \left( - \frac{1}{s} e^{-st} \right) \right]_{0}^{\infty} \)

t=0:

\( \Large \displaystyle \left[ \left( \int_0^{ 0} f( \tau )d \tau \right) \cdot \left( - \frac{1}{s} e^{-s \cdot 0} \right) \right]_{0}^{\infty} = 0\)

t=∞:

\( \Large \displaystyle \left[ \left( \int_0^{ \infty} f( \tau )d \tau \right) \cdot \left( - \frac{1}{s} e^{-s \cdot \infty} \right) \right]_{0}^{\infty} = 0\)

となるので，０となる．したがって，

\( \Large \displaystyle \mathfrak{ L} \left[ \displaystyle \int_0^{t} \ f( \tau )d \tau \right] = \int_0^{\infty} \left( \int_0^{ty} f( \tau )d \tau \right) \cdot \left( - \frac{1}{s} e^{-st} \right)' \ dt
　= - \int_{0}^{ \infty } f(t) \cdot \left( - \frac{1}{s} \ e^{-st} \right) \ dt \)

\( \Large \displaystyle = \frac{1}{s} \int_{0}^{ \infty } f(t) \cdot e^{-st} \ dt \)

\( \Large = \displaystyle \frac{F(s)}{s} \)

\( \Large\color{red}{\mathfrak{ L} \left[ \displaystyle \int_0^{t} \ f( \tau )d \tau \right] = \displaystyle \frac{F(s)}{s}} \)

次に，応用として化学反応について考えていきます．