フーリエ級数展開-16
ここで，三角関数を用いて解いたx2の波形を複素数表示で解いてみましょう．
・x2の波形
x2の波形，
\( \Large \displaystyle f(x) = x^2 \hspace{20pt} ( - \pi \leq x < \pi) \)
の場合を考えます．
フーリエ級数展開は，
\( \Large \displaystyle f(x) = \sum_{n= - \infty}^{ \infty} C_{n} \cdot e^{i \frac{ n \pi}{L}x } \)
\( \Large \displaystyle C_n = \frac{1}{2L} \int_{ - L}^{ L} f(x) \ \displaystyle e^{- i \frac{ n \pi}{L}x } \ dx \)
となり，積分範囲から，L＝ π，となるので，
\( \Large \displaystyle f(x) = \sum_{n= - \infty}^{ \infty} C_{n} \cdot e^{i n x } \)
\( \Large \displaystyle C_n = \frac{1}{2 \pi} \int_{ - \pi}^{ \pi} f(x) \ \displaystyle e^{- i n x} \ dx \)
となります．
n=0，の場合は，
\( \Large \displaystyle C_0 = \frac{1}{2 \pi } \int_{ - \pi}^{ \pi} f(x) \ dx
= \frac{1}{2 \pi} \int_{ - \pi}^{ \pi} x^2 \ dx \)
\( \Large \displaystyle
= \frac{1}{2 \pi } \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_{- \pi}^{\pi}
=
\frac{1}{2 \pi } \left[ \frac{ \pi^3}{3} - \frac{(- \pi)^3}{3} \right] = \frac{ \pi^2 }{3} \)
n≠0，の場合は，
\( \Large \displaystyle C_n = \frac{1}{2 \pi } \int_{ - \pi}^{ \pi} f(x) \cdot e^{-i n x }\ dx
= \frac{1}{2 \pi} \int_{ - \pi}^{ \pi} x^2 \cdot e^{-i n x } \ dx x \)
これは，ここ，で説明した，瞬間部分積分，を使えば簡単に解け，
\( \Large \displaystyle \int x^2 \ e^{ -inx} \ dx \)
を考えていきます．瞬間部分積分を使えば，
| + | x2 | \( \Large \displaystyle -\frac{1}{in} e^{-inx} \) |
| - | 2x | \( \Large \displaystyle \left(-\frac{1}{in} \right) \left(-\frac{1}{in} \right) e^{-inx} = - \frac{1}{n^2} e^{-inx} \) |
| + | 2 | \( \Large \displaystyle \left(-\frac{1}{in} \right)\left(-\frac{1}{in} \right) \left(-\frac{1}{in} \right) e^{-inx} = \frac{1}{in^3} e^{-inx} \) |
\( \Large \displaystyle \int x^2 \ e^{ -inx} \ dx = - \frac{x^2}{in} \ e^{-inx} + \frac{2x}{n^2} \ e^{-inx} + \frac{2}{in^3} e^{-inx} + C \)
となります．したがって，
\( \Large \displaystyle C_n = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{ \pi} x \ e^{ -inx} \ dx = \frac{1}{2 \pi} \left[ \left( - \frac{x^2}{in} + \frac{2x}{n^2} + \frac{2}{in^3} \right) e^{-inx} \right]_{- \pi}^{\pi} \)
\( \Large \displaystyle = \frac{(-1)^n}{2 \pi} \left[ \left( - \frac{\pi^2}{in} + \frac{2 \pi}{n^2} + \frac{2}{in^3} \right) - \left( - \frac{\pi^2}{in} + \frac{2 (-\pi)}{n^2} + \frac{2}{in^3} \right) \right]\)
\( \Large \displaystyle = \frac{(-1)^n}{2 \pi} \left( \frac{4 \pi}{n^2} \right) \)
\( \Large \displaystyle = \frac{2(-1)^n}{n^2} \)
\( \Large \displaystyle f(x) = \sum_{n= - \infty}^{ \infty} C_{n} \cdot e^{i n x } \)
に対して，積分範囲を二分＋定数項にして，
\( \Large \displaystyle = \frac{ \pi^2 }{3} + \sum_{n=1}^{ \infty} \frac{2(-1)^n}{n^2} \cdot e^{i n x } + \sum_{n=- \infty}^0 \frac{2(-1)^n}{n^2} \cdot e^{i n x }\)
\( \Large \displaystyle = \frac{ \pi^2 }{3} + \sum_{n=1}^{ \infty} \frac{2(-1)^n}{n^2} \cdot e^{i n x } + \sum_{n=1}^{ \infty} \frac{2(-1)^(-n)}{(-n)^2} \cdot e^{-i n x }\)
\( \Large \displaystyle = \frac{ \pi^2 }{3} + \sum_{n=1}^{ \infty} \left\{ \frac{2(-1)^n}{n^2} \cdot e^{i n x } + \frac{2(-1)^(-n)}{(-n)^2} \cdot e^{-i n x } \right\} \)
ここで，
\( \Large \displaystyle (-1)^n = (-n)^2 \)
ですので，
\( \Large \displaystyle = \frac{ \pi^2 }{3} - \frac{2}{1^2} \cdot e^{ix} + \frac{2}{2^2} \cdot e^{2ix} - \frac{2}{3^2} \cdot e^{3ix} + \frac{2}{4^2} \cdot e^{4ix} - ...... \)
\( \Large \displaystyle \hspace{40pt} - \frac{2}{1^2} \cdot e^{-ix} + \frac{2}{2^2} \cdot e^{-2ix} - \frac{2}{3^2} \cdot e^{-3ix} + \frac{2}{4^2} \cdot e^{-4ix} - ...... \)
\( \Large \displaystyle = \frac{ \pi^2 }{3} - \frac{2}{1^2} \cdot ( e^{ix} + e^{-ix})+ \frac{2}{2^2} \cdot (e^{2ix} + e^{-2ix} )- \frac{2}{3^2} \cdot ( e^{3ix} +e^{-3ix}) +...... \)
\( \Large \displaystyle = \frac{ \pi^2 }{3} - 4 \left\{ - cos \ x + \frac{1}{2^2} cos \ (2x) - \frac{1}{3^2} cos \ (3x)...... \right\} \)
と，x2関数の場合，と同じ結果となります．
いかがでしょうか？複素数表示にした方が，フーリエ級数展開自体の計算は楽になった．．．気がします．
しかし，三角関数表示に戻すときに厄介ですね．．．．．どちらがいいのか．．．．やっぱり複素数表示なのかなあ．．．
