フーリエ級数展開-09
次はノコギリ波
・ノコギリ波
ノコギリ波，
\( \Large \displaystyle f(x) = \frac{x}{ \pi} \hspace{20pt} ( - \pi \leq x < \pi) \)
の場合を考えます．
フーリエ級数展開は，周期が ‐π～π，の場合には，
\( \Large \displaystyle f(x) = \color{red}{\frac{a_0}{2}} + \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \ (n x) + b_n \ sin \ (n x) \right) \)
\( \Large \displaystyle a_0 = \color{red}{\frac{1}{\pi}} \int_{- \pi}^{ \pi} f(x) \ dx \)
\( \Large \displaystyle a_n = \frac{1}{\pi} \int_{ - \pi}^{ \pi} f(x) \ cos \ \left( nx \right) \ dx \)
\( \Large \displaystyle b_n = \frac{1}{\pi} \int_{ - \pi}^{ \pi} f(x) \ sin \ \left( nx \right) \ dx \)
は，ここ，で解説しました．
・a0
積分範囲によって，f(x)の値が異なるので，それぞれの領域の積分に分けていきます．
\( \Large \displaystyle \frac{a_0}{2}
= \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{ \pi} x \ dx
= \frac{1}{2 \pi} \left[ - \frac{1}{2} x^2 \right]_{- \pi}^{\pi}
= \frac{1}{2 \pi} \left\{ \frac{1}{2} \pi^2 - \frac{1}{2} \pi^2 \right\} = \color{red}{0 }
\)
・an
\( \Large \displaystyle a_n = \frac{1}{\pi} \int_{ - \pi}^{ \pi} x \cdot cos( nx ) \ dx \)
ですが，奇関数×偶関数＝奇関数なので，-πからπまで積分すれば０となりますね．
・bn
\( \Large \displaystyle b_n = \frac{1}{\pi} \int_{ - \pi}^{ \pi} \frac{x}{ \pi}\cdot sin \ \left( nx \right) \ dx \)
これは，ここ，で説明した，瞬間部分積分，を使えば簡単に解け，
\( \Large \displaystyle \int x \ sin \ (n x) \ dx \)
を考えていきます．瞬間部分積分を使えば，
| + | x | \( \Large \displaystyle -\frac{1}{n} cos \ (n x) \) |
| - | 1 | \( \Large \displaystyle - \frac{1}{n^2} sin \ (n x) \) |
\( \Large \displaystyle \int x \ sin \ (n x) \ dx =-\frac{1}{n} x \ cos \ ( n x) - \frac{1}{n^2} x \ sin \ (nx) + C\)
となります．したがって，
\( \Large \displaystyle b_n = \frac{1}{\pi} \int_{ - \pi}^{ \pi} \frac{x}{ \pi} \ sin \ \left( nx \right) \ dx \)
\( \Large \displaystyle = \frac{1}{\pi^2} \left[ -\frac{1}{n} x \ cos \ ( n x) - \frac{1}{n^2} \ sin \ (nx) \right]_{ - \pi}^{ \pi} \)
\( \Large \displaystyle = \frac{1}{\pi^2} \left[ \left( -\frac{\pi}{n} \ cos \ ( n \pi) - \frac{1}{n^2} \ sin \ (n \ \pi) \right) - \left( -\frac{-\pi}{n} \ cos \ ( n ( -\pi)) - \frac{1}{n^2} \ sin \ (n \ (-\pi)) \right)\right] \)
\( \Large \displaystyle = \frac{1}{\pi^2 } \left( - \frac{\pi}{n} \right) \left\{ cos \ (n \pi) + cos \ (- n \pi) \right\} \)
\( \Large \displaystyle = - \frac{1}{n \pi} \left\{ cos \ (n \pi) + cos \ (- n \pi) \right\} \)
\( \Large \displaystyle = \frac{2}{n \pi} (-1)^{n+1} \)
ここでは，
\( \Large \displaystyle cos \ (n \pi) + cos \ (- n \pi) = 2 \cdot (-1)^n \)
を使いました．
したがって，まとめると，
\( \Large \displaystyle a_0 = 0 \)
\( \Large \displaystyle a_n = 0 \)
\( \Large \displaystyle b_n = \frac{2}{n \pi} (-1)^{n+1} \)
となるので，
\( \Large \displaystyle f(x) = \frac{2}{ \pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} sin \ (nx) \)
\( \Large \displaystyle = \frac{2}{ \pi} \left\{ sin x - \frac{1}{2} sin (2x) + \frac{1}{3} sin (3x) - \frac{1}{4} sin (4x)+...... \right\} \)
となります．
グラフで図示すると，
となります．
最後は，x2，の波形です．
