回折-100

フレネル積分の無限大の場合

\(\Large C( \pm \infty) = S(\pm \infty) =\pm \frac{1}{2} \)

これは複素積分を用いて解くことができるようです（ここ，ここ）

しかしながら，このサイト，ではガウス積分を用いて解いていました．

このサイトを参考に解いてみました．

\(\Large C( \alpha ) = \displaystyle \int_{0}^{\alpha} \cos \left( \frac{ \pi \ \alpha^2}{2} \right) d \alpha \\
\Large S( \alpha ) = \displaystyle \int_{0}^{\alpha} \sin \left( \frac{ \pi \ \alpha^2}{2} \right) d \alpha \)

ですので，

\(\Large \displaystyle \int_{0}^{\infty} Exp \left( i \ \frac{ \pi \ \alpha^2}{2} \right) d \alpha \)

を考えていきましょう．ガウス積分は，

\(\Large \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} e^{ - k x^2} dx = \sqrt{ \frac{\pi}{k}} \)

です．解き方は，ここ，を参考にしてください．

積分内は偶感数なので，

\(\Large \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{ - k x^2} dx = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{\pi}{k}} \\
\Large \displaystyle \int_{- \infty}^{0} e^{ - k x^2} dx = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{\pi}{k}} \)

ですので，

\(\Large \displaystyle \int_{0}^{- \infty} e^{ - k x^2} dx = - \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{\pi}{k}} \)

従って，

\(\Large \displaystyle \int_{0}^{ \pm \infty} e^{ - k x^2} dx = \pm \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{\pi}{k}} \)

となります．

\(\Large k = - \frac{i \ \pi}{2} \)

とすると，

\(\Large \displaystyle \int_{0}^{ \pm \infty} Exp \left( i \ \frac{ \pi \ \alpha^2}{2} \right) d \alpha = \pm \frac{1}{2} \sqrt{2 \ i} \)

となります．

ここで，

\(\Large ( 1+i)^2 = 1 + 2i -1 = 2i \)

なので，

\(\Large \begin{eqnarray}　\displaystyle \int_{0}^{ \pm \infty} Exp \left( i \ \frac{ \pi \ \alpha^2}{2} \right) d \alpha
&=& \pm \frac{1}{2} \sqrt{2 \ i} \\
&=& \pm \frac{1}{2} \sqrt{ ( 1+i)^2} \\
&=& \pm \frac{1}{2} (1+ i )\\
\end{eqnarray}　\)

となりますので，

\(\Large C( \pm \infty) = S(\pm \infty) =\pm \frac{1}{2} \)

となります．