きちんと規格化されているか，平均値はいくらか

きちんと規格化されているか?

規格化されているかは，

　\( \Large \displaystyle P(n) = \frac{1}{5} \ EXP \left[ n \cdot ln \left( \frac{5}{6} \right) \right] \)

の計算で，ｎを１から無限大まで足し合わせて，１，になればいいのですから，

　\( \Large \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} P(n) = \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{\infty}\ EXP \left[ n \cdot ln \left( \frac{5}{6} \right) \right] \)

を計算することになります．

まずは簡単に，

　\( \Large \displaystyle f = \sum_{n=1}^{\infty} e^{an} = e^a + e^{2a} + e^{3a} +... \)

を考えましょう．
両辺に，e^a，を掛けると，

　\( \Large \displaystyle f = e^a + e^{2a} + e^{3a} +... \)

　\( \Large \displaystyle e^a \cdot f = e^{2a} + e^{3a} + e^{4a} +... \)

上の二式の差分を取ると，

　\( \Large \displaystyle f - e^a \cdot f = e^{a} \)

　\( \Large \displaystyle f = \sum_{n=1}^{\infty} e^{an} = \frac{e^a}{1 - e^a} \)

と計算できます．

ここで，

　\( \Large \displaystyle a = ln \left( \frac{5}{6} \right) \)

　\( \Large \displaystyle e^a =\frac{5}{6}\)

とすると，

　\( \Large \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} P(n) = \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{\infty}\ EXP \left[ n \cdot ln \left( \frac{5}{6} \right) \right]
= \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{\infty}\ e^{an}
= \frac{1}{5} f
= \frac{1}{5} \frac{e^a}{1 - e^a} \)

したがって，

　\( \Large \displaystyle \frac{1}{5} \times \frac{5/6}{1-5/6} =
\frac{1}{5} \times \frac{5/6}{1/6} = 1\)

となり，きちんと規格化できていることがわかります．

次は平均です．