１５ー１ー０７．ステップ関数（RLC回路）

・ラプラス変換

今までの，RL回路など，通常の解き方とラプラス変換，双方で解いてきてみましたが，それほどラプラス変換の有効性は見られませんでした．

しかし，RLC回路の計算となると，その有効性が際立ってきます．

・ラプラス変換の基本

\(\Large \displaystyle \mathfrak{ L} \left[ K \right] = \frac{K}{s} \)

\(\Large \displaystyle \mathfrak{ L} \left[ f(t) \right] = F(s) \)

\(\Large \displaystyle \mathfrak{ L} \left[ \frac{d}{dt} f(t) \right] = s \cdot F(s) -f(0) \)

\(\Large \displaystyle \mathfrak{ L} \left[ \frac{d^2}{dt^2} f(t) \right] = s^2 \cdot F(s) - s \cdot f(0) - f'(0) \)

\(\Large \displaystyle \mathfrak{ L} \left[ \int f(t) \ dt \right] = \frac{1}{s}\ \cdot F(s) \)

・RLC直列回路のステップ応答

\(\Large \displaystyle R \cdot I(t) + L \ \frac{d}{dt} I(t) + \frac{1}{C} \ \int I(t) \ dt = V_0 \ u(t) \)

初期条件として，

\(\Large \displaystyle I(t) = f(0) = 0 \)

として計算します．

・そのままでラプラス変換

\(\Large \displaystyle L \ \frac{dI}{dt} + R \cdot I + \frac{1}{C} \int I \ dt =V_0 \ u(t)\)

\(\Large \displaystyle L \{ s \cdot F(s) - f(0)\} +R \cdot F(s) + \frac{1}{C} \frac{1}{s} \cdot F(s) = \frac{V_0}{s}\)

\(\Large \displaystyle L \cdot s^2 \cdot F(s) +R \cdot s \cdot F(s) + \frac{1}{C} \cdot F(s) = V_0 \)

となります．

・微分してラプラス変換

\(\Large \displaystyle L \ \frac{dI}{dt} + R \cdot I + \frac{1}{C} \int I \ dt =V_0 \ u(t)\)

\(\Large \displaystyle L \ \frac{d^2I}{dt^2} + R \cdot \frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} I = 0\)

\(\Large \displaystyle L \{ s^2 \cdot F(s) - s \cdot f(0) -f'(0) \} +R \{ s \cdot F(s) - f(0) \} + \frac{1}{C} \cdot F(s) = 0\)

\(\Large \displaystyle L \cdot s^2 \cdot F(s) - L \cdot f'(0) + R \cdot s \cdot F(s) + \frac{1}{C} \cdot F(s) = 0 \)

両者を比べると，

\(\Large \displaystyle L \cdot f'(0) = V_0 \)

\(\Large \displaystyle f'(0) = I'(0) = \frac{V_0}{L} \)

となり，電流の微分値の結果が，ここ，で求めた結果と一致します．

・ラプラス変換後の計算

計算を進めていきます．

\(\Large \displaystyle L \cdot s^2 \cdot F(s) - L \cdot f'(0) + R \cdot s \cdot F(s) + \frac{1}{C} \cdot F(s) = 0 \)

\(\Large \displaystyle F(s) = \frac{V_0}{L \cdot s^2 + R \cdot s + \frac{1}{C} } \)

\(\Large \displaystyle = \frac{V_0}{L} \frac{1}{\cdot s^2 + \frac{R}{L} \cdot s + \frac{1}{LC} } \)

ここで，

\(\Large \displaystyle \omega_0 = \frac{1}{ \sqrt{LC}} \)

\(\Large \displaystyle \alpha = \frac{R}{2L} \)

とすると，

\(\Large \displaystyle F(s) = \frac{V_0}{L} \frac{1}{\cdot s^2 + 2 \alpha \cdot s + \omega_0^2} \)

分母に注目すると，重解となる場合には，

\(\Large \displaystyle s^2 + 2 \ \alpha \ s + \omega_0^2 = (s-s_1)(s-s_2) \)

\(\Large \displaystyle s_{1,2} = \frac{-2 \alpha \pm \sqrt{4 \alpha^2 - 4 \omega_0^2}}{2} \)

\(\Large \displaystyle = - \alpha \pm \sqrt{ \alpha^2 - \omega_0^2} \)

となり，通常の計算方法より，若干．．．計算が楽になっている感じがします．

次は，通常の計算と同様に，平方根内の極性に応じて計算していきましょう．

まずは，α < ω₀，から