誕生日パラドクス-06
25人の中で3人が同じ，ほかはなんでもいいの場合
を集合で考えると，．
条件にあう場合 ： ３人同じ，４人同じ．．．３人同じが２組．．．
など結構たくさんの場合があります．
なので，補集合を考えると，
すべてが被らない場合
2人のペアが，１～12組かぶる場合
と比較的，少ない場合で説明できそうです．
・すべてが被らない場合
以前のページでも説明したように，
一人目：どの日でもいいので，365/365=1
二人目：一人目以外なので，364/365
25人目：24人以外とかぶらない確率なので，(365-25+1)/365
この積は，
\( \Large P_{0} = \frac{365}{365} \frac{364}{365} \cdots \frac{341}{365} = \frac{1}{365^{25}} \frac{365!}{340!} = 0.4313 \)
となります．
・2人のペアが1組一致
25人から2人のペアを１組選ぶ場合の数は，
\( \Large _{25} C_{2} \)
です．
ペアの二人が同じ誕生日である確率
\( \Large \frac{1}{365} \)
です.
残り23人がばらばらである確率を合わせると，
\( \Large _{25} C_{2} \cdot \frac{1}{365} \cdot \frac{364}{365} \frac{363}{365} \cdots \frac{365-23}{365} =0.3794 \)
となります．
・2人のペアが2組一致
25人から2人のペアを2組選ぶ場合の数は，
\( \Large \displaystyle \frac{_{25} C_{2} \cdot _{23} C_{2}}{2!} \)
です（分母の階乗に注意）．
ペアの二人が同じ誕生日である確率
\( \Large \frac{1}{365} \cdot \frac{1}{365} \)
です.
残り21人がばらばらである確率を合わせると，
\( \Large \displaystyle \frac{_{25} C_{2} \cdot _{23} C_{2}}{2!} \cdot \frac{1}{365} \frac{1}{365}\cdot \frac{364}{365} \frac{363}{365} \cdots \frac{365-22}{365} =0.1404 \)
となります．
したがって，
・2人のペアが i 組一致
25人から2人のペアをi組選ぶ場合の数は，
\( \Large \displaystyle \frac{_{25} C_{2} \cdot _{23} C_{2} \cdots _{25-2(i-1)} C_{2} }{i!} \)
です（分母の階乗に注意）．
ペアの二人が同じ誕生日である確率
\( \Large \left( \frac{1}{365} \right)^i \)
です.
残りの人がばらばらである確率を合わせると，
\( \Large \displaystyle \frac{_{25} C_{2} \cdot _{23} C_{2} \cdots _{25-2(i-1)} C_{2} }{i!} \cdot \left( \frac{1}{365} \right)^i \cdot \frac{364}{365} \frac{363}{365} \cdots \frac{365-(24-i)}{365} \)
となります．
これらの確率を全部足して，１から引けばいいので，
\( \Large \displaystyle P = 1 - \left[ 0.4313 + \sum_{i=1}^{12} \frac{_{25} C_{2} \cdot _{23} C_{2} \cdots _{25-2(i-1)} C_{2} }{i!} \cdot \left( \frac{1}{365} \right)^i \cdot \frac{364}{365} \frac{363}{365} \cdots \frac{365-(24-i)}{365} \right] \)
\( \Large = 0.016409 \)
となりました．思った以上に，複雑な式となりました．
もっと簡略化できるかな？と思いましたが，これ以上は無理なようです．
私が間違えて計算した値， 0.01726，と結構近いですが，単なる偶然です．
各確率を図示すると，
となります．縦軸を対数にすると（０を除いて）
となります．
当初は，簡単な場合として提示した問題ですが，思った以上に複雑な計算式となりました．
指摘していただいた学生さん，ありがとうございます．
