2次元ガウシアン画像のフィッティング方法-03

加算におけるピーク値の求め方

加算像からピーク値を求める前に，まず正規分布のおさらいから始めます．

一次元正規分布は，

\( \Large P(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma^2} Exp \left( - \frac{x^2}{2 \sigma_x^2} \right) \)

となります（簡単のため，x0=0，Base=0, としてあります）．

規格化してあるので，

\( \Large P(x)= \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} Exp \left( - \frac{x^2}{2 \sigma_x^2} \right) dx =1 \)

となります．

今回，フィットした関数は，

\( \Large A_0 Exp \left( - \frac{x^2}{2 \sigma_x^2} \right) \)

です．

さて，今回フィットした値でのピーク値は，実は，以下の図の赤点の加算値となります．

つまり，
　Xの加算像なら，Yの分布の積分値
　Yの加算像なら，Xの分布の積分値
となるわけです．つまり，

\( \Large Peak Value = \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} A_{0x} Exp \left( - \frac{y^2}{2 \sigma_y^2} \right) dy \)

となります．したがって，

\( \Large \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} A_{0x} Exp \left( - \frac{y^2}{2 \sigma_y^2} \right) dy
&=& A_{0x} \sqrt{2 \pi} \sigma_y \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_y^2} Exp \left( - \frac{y^2}{2 \sigma_y^2} \right) dy \\
&=& A_{0x} \sqrt{2 \pi} \sigma_y \\
\end{eqnarray}　\)

となりますので，

\( \Large \displaystyle A_{0x} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\frac{Peak Value_x}{ \sigma_y} \)

となります．

\( \Large \sqrt{2 \pi} \simeq 2.5 \)

なので，大体，2/5，倍となります．

注意すべき点は，

　XとYとをたすき掛けにして割る

ことです．

実際に確かめてみましょう．XYの偏差を異なる値で作ってみました．

書記パラメータ，解析結果は，

となり，XとYとでピークの値が異なることが分かります．

上の計算を行ってみると，

\( \Large \displaystyle A_{0x} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\frac{5.33}{ 1.96}=1.08 \)

\( \Large \displaystyle A_{0y} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\frac{10.13}{3.82}=1.06 \)

と初期値である1とよく一致していることが分かります．

このように，一見単純で雑なように見える加算方式ですが，きちんと元データを繁栄していることが分かります．

次のページに，新しい（？）フィッティング方法について示します．