平均値
平均値は，
\(\Large \begin{align*} <n> &= \displaystyle \sum_{ n=0 }^{N} P_{N} (n) \cdot n \\
&= \sum_{ n=0 }^{N} \frac{N!}{(N-n)! \ n!} p^{n} \ q^{N-n} \cdot n \end{align*} \)
となります．
\(\Large n \ p^n = p \ \frac{\partial }{ \partial p } (p^n) \)
より，\(\Large \left( \frac{\partial }{ \partial p } (p^n) = n \ p^{n-1} \right) \)
\(\Large \begin{align*} <n> &= \displaystyle \sum_{ n=0 }^{N} \frac{N!}{(N-n)! \ n!} \left[p \ \frac{\partial }{ \partial p } (p^n) \right] \ q^{N-n} \\
&= p \ \frac{\partial }{ \partial p } \left[ \sum_{ n=0 }^{N} \frac{N!}{(N-n)! \ n!} p^{n} \ q^{N-n} \right] \\
&=
p \ \frac{\partial }{ \partial p } (p+q)^{N-1} \\
&= Np \end{align*} \)
となり，平均は，Np，となります．
ここで，ｑ＝１－ｐ，だからｐの関数では？ｑも微分しなくていいの？
と疑問が出ますが，たぶん．．．私の理解では，
n pn を微分の形に変えているので，ｑはそのままである
便宜上微分を一番前に出したが，カギカッコ内のｑには微分はかかっていない
という理解でいいのでは，と思います．
次ページでは，分散値を求めていきましょう．