ボルツマン分布-04

空気の密度

空気の密度は,重力に依存しますので,地面との比較では,

\(\Large E = m' g h \)

\(\Large \frac{P_{i}}{P_{j}} = e^{- \frac{E_{i} - E_{j}}{k_{B} T}} \)

\(\Large \frac{P_{h}}{P_{0}} = e^{- \frac{m' g h}{k_{B} T}} \)

となります.ここで,
 P:高さ,h,での確率
 P0:地面での確率
 m':質量
 g:重力加速度
 h:高さ
となります.

さて,空気の代表例として,酸素(32g/mol),を考え,
 空気の密度が1/3となる高度
を計算しましょう.

\(\Large \frac{1}{3} = \frac{P_{h}}{P_{0}} = e^{- \frac{m' g h}{k_{B} T}} \)

\(\Large - \frac{m' g h}{k_{B} T} = ln \frac{1}{3} \)

\(\Large \begin{align*} h &= - ln \frac{1}{3} \cdot \frac{k_{B} T}{m' g} \\
&= - (-1.099) \frac{4.14 \times 10^{-21} [Nm]}{\frac{32 \times 10 ^{-3}}{6.02 \times 10^{23}}[kg] \cdot 10 [m/s^{2}]} \\
&= 8.6 km \end{align*} \)

となり,ちょうどエベレストの頂上では酸素濃度が1/3となってしまいます(ここ,にも記載あり).

次ページは水溶液中のポリスチレンビーズの分布を考えていきましょう.

 

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