フィックの方程式の定常解-式2.18の導出

\(\Large D \dfrac{1}{r^2} \frac{ \partial }{ \partial r } \left( r^2 \ \dfrac{ \partial C }{ \partial r } \right) = 0 \hspace{ 30pt } (2.17) \)

において，

　r=a において C=0，r=∞ において C=C₀ として解いてみましょう．

\(\Large \dfrac{ \partial }{ \partial r } \left( r^2 \ \dfrac{ \partial C }{ \partial r } \right) = 0 \)

\(\Large r^2 \ \dfrac{ \partial C }{ \partial r } = D \)

\(\Large \dfrac{ \partial C }{ \partial r } = \dfrac{D}{r^2} \)

\(\Large C = -\frac{D}{r} + E \)

r=∞ →　C=C₀

\(\Large C_0 = 0 + E \)

\(\Large E = C_0 \)

となるので，

\(\Large C = -\dfrac{D}{r} + C_0 \)

となります．

r=a → C=0

\(\Large 0 = -\dfrac{D}{a} + C_0 \)

\(\Large \dfrac{D}{a} = C_0 \)

\(\Large D = a \ C_0 \)

\(\Large \begin{eqnarray} C &=& -\dfrac{a \ C_0}{r} + C_0 \\
&=& C_0 \ \left( 1-\dfrac{a}{r} \right) \hspace{ 30pt } (2.18) \\
\end{eqnarray}　\)　

となり，式2.18，を導き出せました．

次は，(2.20)です．