偏光板を通すと光量はどのくらい減少するのか？

縦偏光

無偏光の光（青矢印）を縦偏光板に通すとします．

薄い線が偏光板の向きです．その場合，赤い矢印の光のみが偏光板を通過します．その大きさは，

\(\Large cos \theta　\)

となります．強度はその二乗となるので，（I₀：元の光の強度，I：偏光板を通過した光）とすると，

\(\Large I = I_0 \ cos \theta　\)

から，全周に渡って積分すればよいのです．この場合には1/4のみの計算でいいので，規格化を考慮して，

\(\Large \frac{I}{I_0} = \frac{\displaystyle \int_{ - 0 }^{ \frac{ \pi}{2} } cos^2 \theta \ d \theta}
{\displaystyle \int_{ - 0 }^{ \frac{ \pi}{2} } d \theta} \)

を計算すればよいことになります．ここで，

\(\Large cos^2 \theta = \frac{1 + cos 2 \theta}{2} 　\)　

なので，

\(\Large \frac{I}{I_0} = \frac{\displaystyle \int_{ - 0 }^{ \frac{ \pi}{2} } \frac{1 +cos \ 2 \theta}{2} \ d \theta}
{\displaystyle \int_{ - 0 }^{ \frac{ \pi}{2} } d \theta}　\)

\(\Large \qquad = \frac{ \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2} sin \ 2 \theta \right]_{ - 0 }^{ \frac{ \pi}{2} }}{\left[ \theta \right]_{ - 0 }^{ \frac{ \pi}{2}}} 　\)

\(\Large \qquad = \frac{ \frac{ \pi}{4}}{\frac{ \pi}{2}}　= \frac{1}{2} \)

となり，光量は1/2となることがわかります．