マクローリン展開-06

次は，
(1+x)^a
について考えていきましょう．

\(\Large f(x) = (1+x)^a \hspace{ 90pt } f(0) = 1 \)

\(\Large f'(x) = a \ (1+x)^{a-1} \hspace{ 60pt } f'(0) = a \)

\(\Large f''(x) = a \ (a-1) \ (1+x)^{a-2} \hspace{ 10pt } f''(0) = a \ (a-1)\)

となりますので，テイラー展開（マクローリン展開）は，

\(\Large \begin{align*} f(x) & = f(0) + \frac{ \partial f(0) }{ \partial x } x + \frac{1}{2} \frac{ \partial^2 f(0) }{ \partial x^2 } x^2 \cdots \\
& = 1 + ax + \frac{1}{2} a (a-1) \cdots \end{align*} \)

となります．一回微分までをとると，

\(\Large f(x) = 1 + ax \)

となります