マクローリン展開-04

次は，
　指数関数
まず，e^x，について考えていきましょう．

f(x)=e^x，とすると，

\(\Large \displaystyle f(x) = e^x \hspace{46pt} f(0) = 1 \)

\(\Large \displaystyle f'(x) = e^x \hspace{40pt} f'(0) = 1 \)

\(\Large \displaystyle f''(x) = e^x \hspace{35pt} f''(0) = 1 \)

のように，値は変化しません．従って，

\(\Large \displaystyle f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^i \)

\(\Large \displaystyle = \frac{1}{1} \cdot 1 + \frac{1}{1} \cdot x + \frac{1}{2 \cdot 1} \cdot x^2 \cdots \)

\(\Large \displaystyle = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{n!} \)

となります．