ランジュバン方程式-01

　ランジュバン方程式とは？

今まで，運動方程式を理解してきました．しかし，ミクロな物体，特に水中では周囲の水分子からの衝突を受けます．
従って，一般的な外力（水分子の衝突以外）がないときにもミクロな物体は絶えず動いてしまいます．

その動きは，ランダムで一般的な運動方程式では記述できません．
どうしたらよいでしょう？
そこで，登場したのが，
　ランジュバン方程式
なのです．

ランジュバン方程式自体はそれほど複雑な式ではありません．

\(\Large m \frac{d^2}{dt^2} + \gamma \frac{dx}{dt} = R(t) \)

となります．ここで，R(t)，とは何でしょう？
簡単に言うと，
　ランダムな力
となります．
重力や電場と言ったある方向を持った力ではない，ランダムな力です．
ですので，当然平均値は０となります．

\(\Large <R(t)>=0 \)

また，R(t)には時間的な周期性もないとしますので，自己相関がデルタ関数となります．

\(\Large <R(t) \cdot R(t')> \propto \delta (t-t') \)

では，ランジュバン方程式を解いていきましょう．まずは，両辺にxを掛けます．

\(\Large m x \frac{d^2}{dt^2} + \gamma x\frac{dx}{dt} = x R(t) \)

これを解くわけですが，ここで微分を変形しましょう．

\(\Large \frac{d(x^2)}{dt} = 2 x \frac{dx}{dt} \)

\(\Large x \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d(x^2)}{dt} \)

\(\Large \frac{d^2(x^2)}{dt^2} = \frac{d(2 x \frac{dx}{dt})}{dt} = 2 \frac{dx}{dt} \frac{dx}{dt} + 2x \frac{d^2x}{dt^2} = 2 \{ (\frac{dx}{dt})^2 + x \frac{d^2x}{dt^2} \} \)

\(\Large x \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{1}{2} \frac{d^2(x^2)}{dt^2} - (\frac{dx}{dt})^2 \)

を使って変形すると，

\(\Large \frac{1}{2} m \frac{d^2(x^2)}{dt^2} - m \left( \frac{dx}{dt} \right) ^2 + \frac{1}{2} \gamma \frac{d(x^2)}{dt} = x R(t) \)

となります．

ここで集合平均を取ります．

\(\Large \frac{1}{2} m \frac{d^2(<x^2>)}{dt^2} - m <( \frac{dx}{dt})^2> + \frac{1}{2} \gamma \frac{d(<x^2>)}{dt} = <x R(t)> \)

ここで，右辺のカギ括弧内の二つは独立なので，それぞれの平均の積と置き換えることができます．
さらに，ランダムな力の平均は０なので，

\(\Large <x R(t)> = <x> <R(t)> =0 \)

さらに，

\(\Large <( \frac{dx}{dt})^2> = <v^2> \)

なので，

\(\Large \frac{1}{2} m \frac{d^2(<x^2>)}{dt^2} - k_B T+ \frac{1}{2} \gamma \frac{d(<x^2>)}{dt} = 0 \)

となります．

次にこの微分方程式を解いていきましょう．