回折-05

二個のスリットの回折-指数関数編

スリットが2つの場合は，

\(\Large u_1 =A \sin \alpha \)

\(\Large u_2 =A \sin \left( \alpha + \beta \right) \)

とありましたね．これを指数で表すと，

\(\Large e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \)

であるので，

\(\Large u_1 =A \ Im \ e^{ i \alpha} \)

\(\Large u_2 =A \ Im \ e^{ i ( \alpha + \beta)} \)

となります．ここで，Im，は虚数部分を示します．従って，

\(\Large \begin{eqnarray} u_1 + u_2 &=& Im \left[ A \ e^{ i \alpha} + A \ e^{ i ( \alpha + \beta)} \right] \\ &=& Im \left[ A \ e^{ i \alpha} \left( 1+ e^{ i \beta} \right) \right] \\ &=& Im \left[ A \ e^{ i \alpha} e^{ \frac{i}{2} \beta} \left( e^{ - \frac{i}{2} \beta} + e^{ \frac{i}{2} \beta} \right) \right] \\ &=& Im \left[ A \ e^{ i (\alpha + \frac{i}{2} \beta)} \right] \cdot 2 \ \cos \left( \frac{\beta}{2} \right) \\ &=& 2A \sin \left( \alpha + \frac{i}{2} \beta \right) \cdot \cos \left( \frac{\beta}{2} \right) \end{eqnarray} \)

となり，三角関数の場合と一致します．

では，ｎ個のスリットの場合も計算してみましょう．