回折-03

三重スリットの回折-三角関数編

スリットが3つの場合は，3つめのスリットから発せられる光線の距離は，こちらを参照しました．

おのおのの光波を関数で表すと，

\(\Large u_1 =A \sin \left[ 2 \pi \left( \frac{ t }{ T } + \frac{r_{AP}}{\lambda} \right) \right] \)

\(\Large u_2 =A \sin \left[ 2 \pi \left( \frac{ t }{ T } + \frac{r_{AP +\frac{d x}{L} }}{\lambda} \right) \right] \)

\(\Large u_2 =A \sin \left[ 2 \pi \left( \frac{ t }{ T } + \frac{r_{AP +\frac{2 d x}{L} }}{\lambda} \right) \right] \)

つまり，

\(\Large u_1 =A \sin \alpha \)

\(\Large u_2 =A \sin \left( \alpha + \beta \right) \)

\(\Large u_3 =A \sin \left( \alpha + 2 \beta \right) \)

と簡単に記述することができます．従って，

\(\Large u_1 + u_2 =A \sin \alpha + A \sin \left( \alpha + \beta \right) + A \sin \left( \alpha + 2 \beta \right) \)

を計算すればよいこととなります．

解き方は，各項に，\(\Large \sin \frac{\beta}{2} \)，を掛けて，

\(\Large u_1 \cdot \sin \frac{\beta}{2} =A \sin \alpha \cdot \sin \frac{\beta}{2} \)

\(\Large u_2 \cdot \sin \frac{\beta}{2} =A \sin \left( \alpha + \beta \right) \cdot \sin \frac{\beta}{2} \)

\(\Large u_3 \cdot \sin \frac{\beta}{2} =A \sin \left( \alpha + 2 \beta \right) \cdot \sin \frac{\beta}{2} \)

となります．

ここで，三角関数の公式，

\(\Large \sin W \cdot \sin Y = \frac{1}{2} \left[ \cos ( W -Y) - \cos ( W +Y ) \right] \)

を用いると，

\(\Large u_1 \cdot \sin \frac{\beta}{2} = -\frac{A}{2} \left[ \cos \left( \alpha + \frac{\beta}{2} \right) - \cos \left( \alpha - \frac{\beta}{2} \right) \right] \)

\(\Large u_2 \cdot \sin \frac{\beta}{2} = -\frac{A}{2} \left[ \cos \left( \alpha + \frac{3\beta}{2} \right) - \cos \left( \alpha + \frac{\beta}{2} \right) \right] \)

\(\Large u_3 \cdot \sin \frac{\beta}{2} = -\frac{A}{2} \left[ \cos \left( \alpha + \frac{5\beta}{2} \right) - \cos \left( \alpha + \frac{3\beta}{2} \right) \right] \)

と書き換えることができます．これらの3つの式をよく見ると．．．．
　１式の第1項と２式の第2項
　２式の第1項と３式の第2項
がキャンセルし合うことがわかります．従って，

\(\Large u_1 + u_2 + u_3 = A \frac{ \cos \left( \alpha - \frac{\beta}{2} \right) - \cos \left( \alpha + \frac{5\beta}{2} \right)}{ 2 \sin \frac{\beta}{2}} \)

と簡単にすることができます．

さて，次のステップは，
　三角関数の和差　→　三角関数の積
です．ここでまた，三角関数の公式，

\(\Large \sin W \cdot \sin Y = \frac{1}{2} \left[ \cos ( W -Y) - \cos ( W +Y ) \right] \)

を用いて，和差を積に直しましょう．

\(\Large W -Y = \alpha - \frac{\beta}{2} \)

\(\Large W +Y = \alpha + \frac{5\beta}{2} \)

とすればよいので，

\(\Large \begin{eqnarray} W &=& \frac{1}{2} \left[ \left( \alpha - \frac{\beta}{2} \right) + \left( \alpha + \frac{5 \beta}{2} \right) \right] \\ &=& \frac{1}{2} ( 2 \alpha + 2 \beta) \\ &=& \alpha + \beta \end{eqnarray} \)

\(\Large \begin{eqnarray} Y &=& \frac{1}{2} \left[ \left( \alpha + \frac{5 \beta}{2} \right) - \left( \alpha - \frac{ \beta}{2} \right) \right] \\ &=& \frac{1}{2} \frac{6 \beta}{2} \\ &=& \frac{3 \beta}{2} \end{eqnarray} \)

となるので，

\(\Large u_1 + u_2 + u_3 = A \sin ( \alpha + \beta ) \cdot \frac{ \sin \left( \frac{3 \beta}{2} \right)}{ \sin \frac{ \beta}{2}} \)

となります．

先に述べたように，αには時間項が含まれるので最初の部分が振動項となります．振幅は後者の項となります．従って，強度は，

\(\Large I　\simeq \left[ \frac{ \sin \left( \frac{3 \beta}{2} \right)}{ \sin \frac{ \beta}{2}} \right]^2\)

となります．

では，ｎ個のスリットから発せられる回折像はどうなるでしょう？