全体のばらつきからの決定係数の求め方
再び,同じグラフを表示します.
yiのばらつき加減は,yiの
全体のばらつき = 平均値からのばらつき + 回帰直線からのばらつき
の和になると考えましょう.
なので,
(平均値からのばらつき)/(全体のばらつき)=1-(回帰直線からのばらつき)/(全体のばらつき)
が1に近づくほど回帰直線によく一致することとなります.
全体のばらつきは, 各データから平均値を引いたものとなりますので,
となります.従って,
となります.
ここで,第二項は0となります(計算は,ここ,をごらんください).
従って,
となり,
第一項:平均値からのばらつき
第二項:回帰直線からのばらつき
となります.
従って,
を求めることができます.
次に,共分散からの決定係数の見積もりを考えましょう.