直線近似の求め方-02

まずは,ei,の二乗の和を求めていきましょう.

\( \Large \displaystyle \sum_{i=1}^n e_i^2 = \displaystyle \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y_i})^2 = \displaystyle \sum_{i=1}^n \{y_i - (ax_i+b)\}^2\)

\( \Large \displaystyle = \displaystyle \sum_{i=1}^n y_i^2 -2a \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i y_i -2b \displaystyle \sum_{i=1}^n y_i +a^2 \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2 +2ab \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i +nb^2 \)

と分解できます.
次に,a,で微分してみましょう.この値が0となるので,

\( \Large \displaystyle \frac{ \partial }{ \partial a } \displaystyle \sum_{i=1}^n e_i^2 = -2 \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i y_i +2a \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2 +2b \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i =0 \)

\( \Large \displaystyle a \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2 +b \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i - \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i y_i =0\)

まだ,b,で微分して,0とすると,

\( \Large \displaystyle \frac{ \partial }{ \partial b } \displaystyle \sum_{i=1}^n e_i^2 = -2 \displaystyle \sum_{i=1}^n y_i +2a \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i +2nb =0 \)

\( \Large \displaystyle a \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i + nb - \displaystyle \sum_{i=1}^n y_i =0\)

となります.
まとめると,

\( \Large \displaystyle a \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2 +b \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i = \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i y_i \)

\( \Large \displaystyle a \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i + nb = \displaystyle \sum_{i=1}^n y_i \)

となり,この方程式を解けば,a,bが求まります.

次ページに,別の方法(記述方法)で求めていきましょう.

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