球体の発熱による温度分布-熱源が一様ではなく,中心に局在している場合-31

では,熱源が中心の局在していたらどうなるでしょう?

基本的には,同じです.

 

上記のようなモデルを考えてみます.
 半径Hの熱源(熱伝導率はκh
が存在し,
 半径Hの熱源と細胞との界面で熱q1
 半径Rの細胞と細胞膜との界面で熱q2
 半径R+Mの細胞+細胞膜と外界との界面で熱q3

が流れるとします.

今までの議論から,

\(\Large T_h = -\frac{1}{6} \frac{p}{\kappa_h} r^2 + C_1 \)

\(\Large T_{in} = -\frac{C_2}{r} + C_3 \)

\(\Large T_m = -\frac{C_4}{r} + C_5 \)

\(\Large T_{out} = -\frac{C_6}{r} + R.T \)

となることがわかります.

 

各境界の熱の流出量

境界条件は,

\(\Large \frac{dT_{in}}{dr} \vert_{r=R} = -\frac{q_2}{\kappa_{in}} = - \frac{p \ H^3}{3 \kappa_{in} R^2} \)

\(\Large \frac{dT_{m}}{dr} \vert_{r=R+M} = -\frac{q_3}{\kappa_{m}} = - \frac{p \ H^3}{3 \kappa_{m} (R+M)^2} \)

\(\Large \frac{dT_{out}}{dr} \vert_{r=R+M} = -\frac{q_3}{\kappa_{out}} = - \frac{p \ H^3}{3 \kappa_{out} (R+M)^2} \)

となります.

 

球の外側の熱拡散方程式

\(\Large T_{out} = -\frac{C_6}{r} + R.T \)

\(\Large \frac{dT_{out}}{dr} \vert_{r=R+M} = \frac{C_6}{r} \vert_{r=R+M} = \frac{C_6}{(R+M)^2} = - \frac{p \ H^3}{3 \kappa_{out} (R+M)^2} \)

\(\Large C_6 = - \frac{p \ H^3}{3 \kappa_{out}} \)

\(\Large T_{out} = \frac{p \ H^3}{3 \kappa_{out}} \frac{1}{r} + R.T \)

となる.

 

細胞膜の熱拡散方程式

\(\Large T_m = -\frac{C_4}{r} + C_5 \)

\(\Large \frac{dT_{m}}{dr} \vert_{r=R+M} = \frac{C_4}{r^2} \vert_{r=R+M} = \frac{C_4}{(R+M)^2} = - \frac{p \ H^3}{3 \kappa_{m} (R+M)^2} \)

\(\Large C_4 = - \frac{p \ H^3}{3 \kappa_m} \)

\(\Large T_m = \frac{p \ H^3}{3 \kappa_m} \frac{1}{r} + C_5 \)

 

\(\Large T_{out} (R+M) = T_m (R+M) \)

より,

\(\Large \frac{p H^3}{3 \kappa_{out}} \frac{1}{R+M} + R.T = \frac{p \ H^3}{3 \kappa_m} \frac{1}{R+M} + C_5 \)

\(\Large \begin{align*} C_5 &= \frac{p \ H^3}{3 \kappa_{out}} \frac{1}{R+M} + R.T - \frac{p \ H^3}{3 \kappa_m} \frac{1}{R+M} \\
&= \frac{p \ H^3}{3 (R+M)} \left( \frac{1}{\kappa_{out}} - \frac{1}{\kappa_m} \right) + R.T \end{align*} \)

\(\Large \begin{align*} T_m &= \frac{p H^3}{3 \kappa_m} \frac{1}{r} + \frac{p \ H^3}{3 (R+M)} \left( \frac{1}{\kappa_{out}} - \frac{1}{\kappa_m} \right) + R.T \\
&= \frac{p H^3}{3} \left[ \frac{1}{\kappa_m r} + \frac{1}{R+M} \left( \frac{1}{\kappa_{out}} - \frac{1}{\kappa_m} \right) \right] + R.T \end{align*} \)

となります.

次ページに,細胞内(非発熱源),細胞内(発熱源)の熱拡散方程式を解いていきましょう.

 

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