球体の発熱による温度分布-球の内外で熱伝導率が異なる場合-01

では，球の内外で熱伝導率が異なる場合はどのように計算すればよいでしょう？

基本的には，同じです．

まずは，簡単な方から．

球の外側の熱拡散方程式

\(\Large - \kappa_{out} \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} (r^2 \cdot \frac{dT_{out}}{dr}) = 0 \)

\(\Large \frac{d}{dr} (r^2 \cdot \frac{dT_{out}}{dr}) = 0 \)

\(\Large r^2 \cdot \frac{dT_{out}}{dr} = C_3 \)

\(\Large \frac{dT_{out}}{dr} = \frac{C_3}{r^2} \)

\(\Large T_{out} = -\frac{C_3}{r} + C_4\)

となります．

r→∞の条件においては，球からの熱の影響を受けず室温（R.T.）となるとすると，

\(\Large T_{out} = -\frac{C_3}{r} + R.T.\)

となります．

ここでも， 前出のr=Rでの熱流量から，

\(\Large \frac{dT_{out}}{dr} \vert_{r=R} = \frac{C_3}{R^2} = - \frac{1}{3} \frac{p \ R}{\kappa_{out}} \)

\(\Large C_3 = - \frac{1}{3} \frac{p \ R^3}{\kappa_{out}} \)

となるので，

\(\Large T_{out} = \frac{1}{3} \frac{p \ R^3}{\kappa_{out}} \frac{1}{r} + R.T.\)

と記述できます．

つまり，
　熱源である球の外の温度変化は，距離rに反比例して減少する
ことになります．

球の内側の熱拡散方程式

\(\Large - \kappa_{in} \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} (r^2 \cdot \frac{dT_{in}}{dr}) = p \)

\(\Large \frac{d}{dr} (r^2 \cdot \frac{dT_{in}}{dr}) = - \frac{p \ r^2}{\kappa_{in}} \)

\(\Large r^2 \cdot \frac{dT_{in}}{dr} = - \frac{1}{3} \frac{p \ r^3}{\kappa_{in}}+C_1 \)

\(\Large \frac{dT_{in}}{dr} = - \frac{1}{3} \frac{p \ r}{\kappa_{in}}+ \frac{C_1}{r^2} \)

ここで，前出のr=Rの場合の熱流量と組み合わせると，

\(\Large \frac{dT_{in}}{dr} \vert_{r=R} = - \frac{1}{3} \frac{p \ R}{\kappa_{in}}+ \frac{C_1}{R^2} = - \frac{p \ R}{3 \kappa_{in}}\)

\(\Large \frac{C_1}{R^2} = - \frac{p \ R}{3 \kappa_{in}} + \frac{p \ R}{3 \kappa_{in}} =0 \)

となり，C₁=0，となります．従って，

\(\Large \frac{dT_{in}}{dr} = - \frac{1}{3} \frac{p \ r}{\kappa_{in}} \)

\(\Large T_{in} = - \frac{1}{6} \frac{p \ r^2}{\kappa_{in}} +C_2\)

となります．

r=Rにおいて内外の温度が一致するので，

\(\Large T_{in} \vert_{r=R} = T_{out} \vert_{r=R} \)

\(\Large - \frac{1}{6} \frac{p \ R^2}{\kappa_{in}} +C_2 = \frac{1}{3} \frac{p \ R^3}{\kappa_{out}} \frac{1}{R} + R.T.\)

\(\Large \begin{align*} C_2 &= \frac{1}{3} \frac{p \ R^2}{\kappa_{out}} + R.T. + \frac{1}{6} \frac{p \ R^2}{\kappa_{in}} \\
&= \frac{p \ R^2}{6} \left[ \frac{2}{ \kappa_{out}} +\frac{1}{\kappa_{in}} \right] + R.T. \end{align*} \)

となるので，

\(\Large T_{in} = - \frac{1}{6} \frac{p r^2}{\kappa_{in}} + \frac{p \ R^2}{6} \left[ \frac{2}{ \kappa_{out}} +\frac{1}{\kappa_{in}} \right]+ R.T. \)

となります．

まとめ

\(\Large T_{out} = \frac{1}{3} \frac{p \ R^3}{\kappa_{out}} \frac{1}{r} + R.T.\)

\(\Large T_{in} = - \frac{1}{6} \frac{p r^2}{\kappa_{in}} + \frac{p \ R^2}{6} \left[ \frac{2}{ \kappa_{out}} +\frac{1}{\kappa_{in}} \right]+ R.T. \)

次に，具体的な値を入れてみましょう．