Welchの自由度の求め方-03

　w/gという確率変数は自由度ｆのカイ二乗分布に従う．

を検証していきます．

α：形状母数=f/2

β：尺度母数=2g

の場合のガンマ分布は，変数をｗとすると，

\(\Large \displaystyle G \left( w| \ \frac{f}{2},2 g \right) = \frac{1}{(2g)^{ \frac{f}{2} } \ \Gamma ( \frac{f}{2} )} \ w^{ \frac{f}{2} -1} \ exp \left( - \frac{w}{ 2g} \right) \)

\(\Large \displaystyle = \frac{1}{\ \Gamma ( \frac{f}{2} )} e^{ - \frac{w}{ 2g}} \ w^{ \frac{f}{2} } w^{-1} \ (2g)^{ - \frac{f}{2} } \)

\(\Large \displaystyle = \frac{1}{\ \Gamma ( \frac{f}{2} )} e^{ - \frac{w}{ 2g}} \ \left( \frac{w}{2g} \right)^{ \frac{f}{2} } w^{-1} \)

ここで，変数を置き換えます（ここら辺が自信ありません．．．はたしてこのプロセスでいいのかどうか．．．）

\(\Large \displaystyle \frac{w}{ g} = x \)

すると，

\(\Large \displaystyle = \frac{1}{\ \Gamma ( \frac{f}{2} )} e^{ - \frac{x}{ 2}} \ \left( \frac{x}{2} \right)^{ \frac{f}{2} } (gx)^{-1} \)

\(\Large \displaystyle = \frac{1}{2^{ f/2}\ \Gamma ( \frac{f}{2} )} e^{ - \frac{x}{ 2}} \ x^{ \frac{f}{2} } (gx)^{-1} \)

\(\Large \displaystyle = \frac{1}{2^{ f/2}\ \Gamma ( \frac{f}{2} )} e^{ - \frac{x}{ 2}} \ x^{ \frac{f}{2} } \frac{x^{-1}}{g} \)

\(\Large \displaystyle = \frac{1}{g}\frac{1}{2^{ f/2}\ \Gamma ( \frac{f}{2} )} e^{ - \frac{x}{ 2}} \ x^{ \frac{f}{2}-1 } \)

自由度nのカイ二乗分布の確率密度関数は，

\(\Large \displaystyle f_n (x) = \frac{1}{2^{ \frac{n}{2}} \ \Gamma \left( \frac{n}{2} \right)} \ x^{ \frac{n}{2}-1} \ exp \left( - \frac{x}{2} \right) \)

ですので， 自由度fのカイ二乗分布の確率密度関数をｇで割ったものになります．

これでいいのだろうか．．．適当に変数を変えているだけのような気がするが．．．ほんと自信がありません．

次ページにｔ分布を導入していきます．