Welchの自由度の求め方-01
Welchの検定の数学的導出は，Webサイトを調べてもあまり詳しくは述べられておりません．
唯一（たぶん），こちら，のサイトが詳細に述べられておりますが，ところどころ飛躍（私の理解不足だけかと思いますが）があり，完全には理解できませんでした．
そこで，大元のWelchの論文までさかのぼって検証することにしました．
自分なりに．．．納得はしたのですが，合っているかどうかといわれると．．．．ちょっと不安です．
参考にしたオリジナル論文は，
The Specification of Rules for Rejecting Too Variable a Product, with Particular Reference to an Electric Lamp Problem
B. L. Welch Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society, Vol. 3, No. 1 (1936), pp. 29-48 (20 pages)
https://doi.org/10.2307/2983676
The Significance of the Difference Between Two Means when the Population Variances are Unequal
B. L. Welch Biometrika, Vol. 29, No. 3/4 (Feb., 1938), pp. 350-362 (13 pages) https://doi.org/10.2307/2332010
The Generalization of `Student's' Problem when Several Different Population Variances are Involved
B. L. Welch Biometrika, Vol. 34, No. 1/2 (Jan., 1947), pp. 28-35 (8 pages)
https://doi.org/10.2307/2332510
です．1936年までさかのぼるとは思いませんでした．．．昭和11年．．．2.26事件があった年です．．．
分散，データ数，ともに異なる場合
母分散について過程をおかない場合は，ここ，に記したように，
\(\Large \displaystyle Z =
- \frac{ ( \bar{X} - \bar{Y}) - ( \mu_X - \mu_Y)}{\sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n_X} + \frac{\sigma_Y^2}{n_Y} }}
\sim N(0,1) \)
が標準化して区間推定すればいいことになります．ここで，検定の手段として，母平均が等しいと仮定した場合には，
\(\Large \displaystyle Z =
\frac{ \bar{X} - \bar{Y} }{\sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n_X} + \frac{\sigma_Y^2}{n_Y} }}
\)
もしくは，
\(\Large \displaystyle \bar{X} - \bar{Y} =
Z \sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n_X} + \frac{\sigma_Y^2}{n_Y}}
\)
となります．
ここで，Xについて考えると，X1, X2, ... Xnが独立で，平均μ，分散σX2の正規分布に従うとき，
\(\Large \displaystyle X = \frac{1}{ \sigma_X^2} \sum_{i=1}^m \left( X_i - \bar{X} \right)^2 = \chi^2 (n-1)
\)
と，Xは自由度n-1のカイ二乗分布に従う，ということなります，したがって，
\(\Large \displaystyle \frac{1}{ \sigma_X^2} \sum_{i=1}^n \left( X_i - \bar{X} \right)^2 = \frac{m - 1}{ \sigma_X^2} \frac{\sum_{i=1}^n \left( X_i - \bar{X} \right)^2}{m-1}
\)
\(\Large \displaystyle = \frac{(m - 1) s_X^2}{ \sigma_X^2}
\)
となりますので，これを，
\(\Large \displaystyle \chi_X^2= \frac{(m - 1) s_X^2}{ \sigma_X^2}
\)
とします，同様に，Yも，
\(\Large \displaystyle \chi_Y^2= \frac{(n - 1) s_Y^2}{ \sigma_Y^2}
\)
とします．これらの関数は，上に記したように，自由度n-1のカイ二乗分布に従います．
参考にしたサイトに準拠するため，Xのデータ数をｍ，Ｙのデータ数をｎとしています．
ここで新たに，ｖという統計量を定義します．
\(\Large \displaystyle v = \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{ \sqrt{\frac{s_X^2}{m} + \frac{s_Y^2}{n}} }
\)
すると，
\(\Large \displaystyle v = \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{ \sqrt{\frac{s_X^2}{m} + \frac{s_Y^2}{n}} }
= \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{ \sqrt{\frac{ \chi_X^2 \sigma_X^2}{m(m-1)} + \frac{ \chi_Y^2 \sigma_Y^2}{n(n-1)}} }\)
となり，
\(\Large \displaystyle
= \frac{Z \sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n_X} + \frac{\sigma_Y^2}{n_Y}} }{ \sqrt{\frac{ \chi_X^2 \sigma_X^2}{m(m-1)} + \frac{ \chi_Y^2 \sigma_Y^2}{n(n-1)}} }\)
\(\Large \displaystyle
= \frac{Z }
{ \sqrt{ \displaystyle
\frac{\frac{ \chi_X^2 \ \sigma_X^2}{m(m-1)} + \frac{ \chi_Y^2 \ \sigma_Y^2}{n(n-1)}}{\frac{\sigma_X^2}{m} + \frac{\sigma_Y^2}{n}}} }\)
\(\Large \displaystyle
= \frac{Z }
{ \sqrt{ a \chi_X^2 \ + b \chi_Y^2 } }\)
ここで，
\(\Large \displaystyle a = \frac{\frac{ \chi_X^2 \ \sigma_X^2}{m(m-1)} }{\frac{\sigma_X^2}{m} + \frac{\sigma_Y^2}{n}} \)
\(\Large \displaystyle b = \frac{\frac{ \chi_Y^2 \ \sigma_Y^2}{n(n-1)}}{\frac{\sigma_X^2}{m} + \frac{\sigma_Y^2}{n}} \)
となります．
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