自然数の和
数列の和について，まとめてみました．
こちら，こちらなどのサイトを参考にさせていただきました．ありがとうございます．
・1乗和
\( \Large \displaystyle \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \)
これは，順番を逆転させた者同士の和をとればいいので，
\( \Large \displaystyle 1 + \hspace{15pt} 2 \hspace{14pt} + \hspace{12pt} 3 \hspace{18pt} +........+ \hspace{6pt} n-2 + n-1 + n \)
\( \Large \displaystyle n +n-1 + n-2 \hspace{4pt} +........+ \hspace{16pt} 3 \hspace{16pt} + \hspace{12pt} 2 \hspace{15pt} + 1 \)
を縦同士で和をとると，
\( \Large \displaystyle (n + 1) + (n + 1) + ........+ (n + 1) + (n + 1) \)
と(n-1)がn個の和となります．裏返して足したので，2で割る必要があり，
\( \Large \displaystyle \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \)
となります．この公式は，ｋが奇数でも偶数でも成り立ち，
奇数
\( \Large \displaystyle 1 + 2 + 3 + 4 + 5\)
\( \Large \displaystyle 5 + 4 + 3 + 2 + 1 \)
偶数
\( \Large \displaystyle 1 + 2 + 3 + 4 \)
\( \Large \displaystyle 4 + 3 + 2 + 1 \)
と，上記の公式を満たすことがわかります．
・２乗和
\( \Large \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
任意の正の整数ｋに対して，
\( \Large \displaystyle k^3 - (k-1)^3 =k^3 - ( k^3 -3 k^2 +3 k -1) = 3k^2 -3 k +1 \)
が成り立ちます．このｋに対して1,2, 3.....nを代入して足し合わせると，
\( \Large \displaystyle \hspace{24pt} n^3 - (n-1)^3 = \hspace{16pt} 3n^2 \hspace{16pt} -3 n \hspace{20pt} +1 \)
\( \Large \displaystyle \hspace{96pt} \vdots \)
\( \Large \displaystyle \hspace{24pt} 3^3 - \hspace{16pt} 2^3 \hspace{16pt} = \hspace{16pt} 3 \cdot 3^2 \hspace{8pt} -3 \cdot 3 \hspace{16pt} +1 \)
\( \Large \displaystyle \hspace{24pt} 2^3 - \hspace{16pt}1^3 \hspace{16pt} = \hspace{16pt} 3 \cdot 2^2 \hspace{8pt} -3 \cdot 2 \hspace{16pt} +1 \)
\( \Large \displaystyle +) \hspace{8pt} 1^3 - \hspace{16pt} 0^3 \hspace{16pt} = \hspace{16pt} 3 \cdot 1^2 \hspace{8pt} -3 \cdot 1 \hspace{16pt} +1 \)
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左辺は，n3だけ残りますので，まとめると，
\( \Large \displaystyle n^3 = 3 \sum_{k=1}^n k^2 -3 \sum_{k=1}^n k +n \)
右辺第二項は，1乗和となりますので，
\( \Large \displaystyle n^3 = 3 \sum_{k=1}^n k^2 -3 \frac{n(n+1)}{2} +n \)
右辺第一項が求めたいものなので，入れ替えると，
\( \Large \displaystyle 3 \sum_{k=1}^n k^2 = n^3 +3 \frac{n(n+1)}{2} -n \)
\( \Large \displaystyle \hspace{48pt} = \frac{2 n^3 + 3 n(n+1)- 2n}{2} \)
\( \Large \displaystyle \hspace{48pt} = \frac{2 n^3 + 3 n^2 + n}{2} \)
\( \Large \displaystyle \hspace{48pt} = \frac{n (2 n^2 + 3 n + 1)}{2} \)
\( \Large \displaystyle \hspace{48pt} = \frac{n ( n + 1) (2n + 1)}{2} \)
よって，
\( \Large \displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n ( n + 1) (2n + 1)}{6} \)
となります．
・３乗和
\( \Large \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \left\{ \frac{n(n+1)}{2} \right\}^2 \)
任意の正の整数ｋに対して，
\( \Large \displaystyle k^4 - (k-1)^4 =k^4 - ( k^4 -4 k^3 +6 k^2 -4 k -1) = 4 k^3 -6 k^2 +4 k -1 \)
が成り立ちます．このｋに対して1,2, 3.....nを代入して足し合わせると，
\( \Large \displaystyle \hspace{24pt} n^4 - (n-1)^4 = \hspace{16pt} 4 n^3 \hspace{24pt} - \hspace{20pt} 6 n^2 \hspace{16pt} + 4 n \hspace{20pt} - 1 \)
\( \Large \displaystyle \hspace{120pt} \vdots \)
\( \Large \displaystyle \hspace{24pt} 3^4 - \hspace{16pt} 2^4 \hspace{20pt} = \hspace{20pt} 4 \cdot 3^3 \hspace{16pt} - \hspace{16pt} 6 \cdot 3^2 \hspace{8pt} +4 \cdot 3 \hspace{16pt} - 1 \)
\( \Large \displaystyle \hspace{24pt} 2^4 - \hspace{16pt} 1^4 \hspace{20pt} = \hspace{20pt} 4 \cdot 2^3 \hspace{16pt} - \hspace{16pt} 6 \cdot 2^2 \hspace{8pt} +4 \cdot 2 \hspace{16pt} - 1 \)
\( \Large \displaystyle +) \hspace{8pt} 1^4 - \hspace{16pt}0^4 \hspace{20pt} = \hspace{20pt} 4 \cdot 1^3 \hspace{16pt} - \hspace{16pt} 6 \cdot 1^2 \hspace{8pt} +4 \cdot 1 \hspace{16pt} - 1 \)
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左辺は，n4だけ残りますので，まとめると，
\( \Large \displaystyle n^4 = 4 \sum_{k=1}^n k^3 -6 \sum_{k=1}^n k^2 + 4 \sum_{k=1}^n k -n \)
右辺第二項は，２乗和，右辺第三項は，1乗和となりますので，
\( \Large \displaystyle n^4 = 4 \sum_{k=1}^n k^3 -6 \frac{n ( n + 1) (2n + 1)}{6} + 4 \frac{n(n+1)}{2} -n \)
右辺第一項が求めたいものなので，入れ替えると，
\( \Large \displaystyle 4 \sum_{k=1}^n k^3 = n^4 +n ( n + 1) (2n + 1) -2 n(n+1)+n \)
\( \Large \displaystyle \hspace{48pt} = n^4 +2 n^3 + 3 n^2 +n -2 n^2 -2n+n \)
\( \Large \displaystyle \hspace{48pt} = n^4 +2 n^3 + n^2 \)
\( \Large \displaystyle \hspace{48pt} = n^2 (n^2 +2 n + 1) \)
\( \Large \displaystyle \hspace{48pt} = n^2 (n + 1)^2 \)
よって，
\( \Large \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \left\{ \frac{n(n+1)}{2} \right\}^2 \)
となります．