ランダムな数の発生方法-03

2.指数分布

では,指数分布をしているを考えていきましょう.

\(\Large P(x) \propto e^{-k x} \)

規格化条件は,

\(\Large 1 = \int_0^\infty P(x) dx = \int_0^\infty A e^{-k x} dx \)

となります.従って,

\(\Large \begin{eqnarray} 1 &=& A \int_0^\infty e^{-k x} dx \\
&=& - \frac{A}{k} \left[ e^{-k x} \right]_0^\infty \\
&=& - \frac{A}{k} \left[ 0-1 \right] \\
&=& \frac{A}{k} \\
\end{eqnarray} \) 

\(\Large A = k\)

\(\Large P(x) = k \ e^{-k x} \)

となります.

累積密度関数は,

\(\Large \begin{eqnarray} \int_0^x P(m) dm &=& \int_0^\infty k \ e^{-k m} dm \\
&=& k \ \left( - \frac{1}{k} \right) \left[ e^{-k m} \right]_0^x \\
&=& - \left[ e^{-k x}-1 \right] \\
&=& 1 - e^{-k x} \\
\end{eqnarray} \) 

となります.

従って,P(x)に0から1の乱数を与えれば,その数に応じたxの値が求まります.

\(\Large Rand_{0-1} = 1 - e^{-k x} \)

\(\Large e^{-k x} = 1 - Rand_{0-1} \)

対数をとれば,

\(\Large -k x =ln \left(1 - Rand_{0-1} \right) \)

ここで, 1-Rand0-1は結局,Rand0-1 となるので,(Randが0.2の場合,1-Randは0.8となるように)

\(\Large -k x =ln \left( Rand_{0-1} \right) \)

\(\Large x =- \frac{1}{k} ln \left( Rand_{0-1} \right) \)

となります.

累積積分は基本的には0から開始するものであるので,累積積分においては不定積分として,計算しても同じ答えとなると思います.(証明はしていませんが...)

このように,指数分布の場合には,積分しても最初の確率密度と同じ関数となりますが,累積密度関数にするところがポイントです.

つぎに,正規分布を考えていきましょう.

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